DIVAGACIONES SOBRE LOS TRANSFINITOS DE CANTOR

 

DIVAGACIONES SOBRE LOS TRANSFINITOS DE CANTOR

Fermín Huerta Martín

 

“Me imagino un conjunto como un abismo”

Fundamentos para una teoría general de conjuntos

 

El tema del presente artículo ya fue tratado de alguna manera en mi anterior texto titulado Niebla en la niebla escrito en 2005 y publicado en mi blog en 2012. Dejo al lector interesado la valoración de si contradigo o reafirmo lo allí expuesto.

GALILEO

Una obligada introducción al tema es la paradoja de Galileo, en el magnífico libro de Julián Garrido titulado Verdad matemática (Nivola 2003) se encuentra una clara exposición del mismo, básicamente consiste en presentar dos colecciones de números “los naturales (IN) y “los pares y el cero (IP)” que tienen dos relaciones IP es parte de IN y IP puede emparejarse con IN, con lo que llegaba a la paradójica conclusión de que IP tiene menor número de elementos que IN y IP tiene el mismo número de elementos que IN. Cantor soluciona la paradoja con su noción de infinito actual, definiendo un conjunto infinito como aquel que tiene un subconjunto propio biyectable con él.

Esta primera reflexión es muy importante y marca el desarrollo posterior de la investigación en un punto fundamental. Consideremos el conjunto de los números naturales sin el cero, este conjunto es infinito, no tiene un último elemento, si tiene un primer elemento que sería el uno, es fácil ver que está compuesto a su vez por dos conjuntos, los números pares y los impares, ambos conjuntos a su vez son infinitos, dado que tampoco tienen un último elemento pero si un primer elemento, el 2 y el 1. Copio dos frases:

“Aplicando el mismo principio de correspondencia, demostró que la propiedad que Galileo había considerado paradójica era, en realidad, una propiedad natural de los conjuntos infinitos. El conjunto de los números pares es equivalente al conjunto de todos los números enteros positivos, pares e impares reunidos, porque los emparejamientos entre miembros de uno y otro conjunto pueden proseguir por siempre, sin omitir a miembro alguno de ninguno de ambos conjuntos (…) Podemos emparejar, uno por uno, los números enteros con los números pares, sin que ninguno de ambos conjuntos llegue a AGOTARSE. Por consiguiente, aunque pueda PARECER que hay más números enteros que números pares, ambos conjuntos tienen en realidad el MISMO número de elementos.”

Joseph W. Dauben. Investigación y ciencia nº 83.

“La intuición nos dice que DEBERIA haber el doble de números naturales que de pares, pero la correspondencia uno a uno dice que hay los mismos números en cada conjunto.”

Bryan H. Bunch. Matemática insólita.

A esta forma de proceder lo denominaremos estrategia mecánica.

DIAGONAL

El argumento de la diagonal lo creo Cantor con la finalidad de demostrar la imposibilidad de biyectar IN con los números comprendidos entre 0 y 1. Una vez escritos esos números bastaría con cambiar el primer digito del primer número, el segundo digito del segundo número, etc., así obtendríamos un número  que sería diferente del primero en el primer número, diferente del segundo en el segundo número, etc. (Ver Wikipedia para más información).

A esta forma de proceder lo denominaremos estrategia dialéctica.

Es necesario introducir esta distinción de procedimientos con el objetivo de clarificar el enfoque crítico que voy a realizar sobre algunas propuestas del matemático Georg Cantor en torno a los números transfinitos, con tal fin he propuesto estos dos criterios de estrategias que he dado en llamar estrategia mecánica y estrategia dialéctica, de tal manera podemos decir que en la biyección IP y IN estamos usando una estrategia mecánica, de cierta simpleza, basta colocar los dos conjuntos ordenados uno al lado del otro y proceder a la biyección, de haber seguido utilizando siempre esta estrategia no hubiera podido “demostrar” lo que quería, así que en la biyección IN e IR abandona este modelo de estrategia y adopta la estrategia dialéctica, en este caso en forma de su famosa diagonal, aquí ya se abandona la supuesta “simpleza” de la estrategia mecánica para entrar en algo mucho más elaborado.  En algunos ejemplos donde se trata la creación de la diagonal no se ordena el conjunto IR, este hecho tendría una doble interpretación, primero lastraría la posibilidad de una estrategia mecánica en la biyección y después serviría para resaltar más la aparición del nuevo número que “demostraría” la  imposibilidad de la biyección. Este hecho no parece ser tomado en toda su gravedad por parte de los que aplauden la aparición de ese número casi como una revelación matemática maravillosa. Pero una vez creado queda la cuestión de su ubicación en el conjunto, un conjunto fácilmente ordenable dado que está compuesto de números naturales. Por lo tanto la serie entre el 0 y el 1, tanto en extensión a la derecha como en sucesión hacia abajo, es ordenable. De hecho hemos aceptado los puntos suspensivos (que en mi anterior artículo había criticado) y lo hemos hecho de buena fe, tanto a la derecha como hacia abajo, sin embargo esa buena fe es traicionada al suponer que el número creado con la diagonal no se encuentra en un listado fácilmente ordenable al estar compuesto de números naturales.

Aunque el argumento está pensado para negar la numerabilidad del tramo 0 y 1, su planteamiento parece más enfocado en negar la capacidad de realizar correctamente una tarea sencilla. Se pide que se construya una lista de los números comprendidos en ese intervalo, la tarea no parece difícil ya que todos los miembros de la lista están compuestos de números naturales fácilmente ordenables. Sin embargo Cantor nos dice que él es capaz de encontrar un número que no está en la lista, es decir está llamando tonto al hombre o la maquina que ha trabajado en su realización, a pesar de que la tarea no parece difícil. La cuestión es bien diferente, en realidad el encargo de construir tal lista es inabordable para el hombre y para la máquina. Defendía Quique Ruiz en sus críticas a mi artículo Niebla en la niebla, la necesidad de los puntos suspensivos, si aplicamos el mismo principio aquí, los puntos suspensivos suplen un desarrollo imposible de realizar, pero cuyas premisas de realización están claramente establecidas. La diagonal es inaplicable a un conjunto finito tratable de alguna manera, solo mostraría un ERROR de realización de la tarea si se encontrase un número que debería aparecer en la lista pero que no aparece. De ese error en el conjunto infinito, Cantor deduce su no numerabilidad. No dejan de ser graciosos algunos ejemplos que se usan normalmente para ilustrar este desarrollo de Cantor, por su facilidad para localizar usaré el de la Wikipedia: “Se colocan los números en la lista (no necesariamente en orden).” En muchos sitios se ponen los números desordenados, creo yo con la esperanza de que el efecto de la aparición del nuevo número sea más sorprendente. Esta frase “no necesariamente en orden” es clarificadora, porque presupone la posibilidad de su ordenación, algo evidente. A pesar de ello se acepta, de manera acrítica y ridícula, que el número creado no puede estar en una lista perfectamente ordenable.  Yo me pregunto ¿Por qué el encargado de realizar la lista iba a olvidarse del número 0´6251346… que es el ejemplo de la Wikipedia? Si esta ilusión es posible se debe no a que no sea numerable (como luego demostraré) sino a lo ya mencionado de que la tarea de construir tal lista es imposible, inasumible, sin embargo la existencia teórica de esta lista COMPLETA (y a eso va encaminado el uso de puntos suspensivos) es posible, lo que inhabilitaría totalmente la propuesta de Cantor. Un enfoque de esta posibilidad lo encontramos en el artículo de Carlos Calleja Xifré Los infinitésimos como números transfinitos y la continuidad matemática (Actas del II Congreso de teoría y metodología de las ciencias. Pentalfa 1984), donde plantea la lista empezando con el 0´00…001 y termina con el 0´999…999. Esta utilización del infinito “hacia dentro” que Quique no entendía en mi anterior artículo puede servir de muleta visual de la posibilidad de realizar la lista, dado que formado un número (con la ayuda de los puntos suspensivos) se le puede aplicar “el siguiente de”, la verdad es que escribir (sin puntos suspensivos) cualquier número de la lista es tan inabordable como escribir la lista entera. La utilización del infinito hacia dentro solo retrasa la toma de conciencia de la imposibilidad de realizar el trabajo y la gratuidad del planteamiento de la diagonal.

Por supuesto también es una estrategia dialéctica la de usar “biyecciones autorreferentes” con el mismo objetivo de anular la posible biyección y demostrar la diferencia de tamaño de los conjuntos. En este segundo caso se puede ver con más claridad aun la diferencia mecánico/dialéctico, puesto que se crean conjuntos en cuya definición entran los miembros del otro conjunto biyectado.

Una vez establecidas las dos estrategias y su alcance, nos debemos plantear la siguiente cuestión:

¿Qué ocurriría si solo aplicáramos una estrategia en cada ejemplo y siempre la misma?

Probemos la situación, imaginemos que usamos en todos los casos la estrategia mecánica, como hacemos al biyectar IP con IN, por ejemplo en la biyección IN e IR, dado que ambos conjuntos son infinitos, la biyección no acabaría nunca y por lo tanto ambos conjuntos tienen el mismo tamaño, lo mismo ocurriría al biyectar IN y su conjunto potencia.

Ahora usaremos exclusivamente la estrategia dialéctica, al biyectar IP y IN podemos biyectar todos los miembros de IP con los pares de IN, dado que nos sobran en esa biyección todos los impares, podemos decir que IN es más grande que IP, concretamente el doble de grande, el doble de infinito.

En la biyección IN con su conjunto potencia, podemos biyectar todo IN con los conjuntos unitarios de ese conjunto y sobrarían todos los demás, con lo que podemos decir que el conjunto potencia de IN es mucho más grande que IN, siendo ambos infinitos.

Un caso curioso es el de la numeración de los números racionales, Cantor “demostró” la numerabilidad de estos números, es famoso el cuadro donde coloca tales números y luego les da un orden con flechas que revelan la posibilidad de “contarlos”. En el cuadro se disponen en filas los números de la siguiente manera, en la primera fila todas las fracciones con numerador 1 y denominador cambiante. En la primera columna todas las fracciones con numerador cambiante y denominador 1. Las flechas indican su camino que empieza 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4,… etc. Esta sería una mezcla de estrategia dialéctica y mecánica, sin embargo es fácil ver que podemos usar una variante de este proceder que demostraría lo contrario, basta observar que es suficiente la primera fila (o columna) para “agotar” IN. Así es, dado que los denominadores de la primera fila ya son todos los números naturales. Por lo tanto, el conjunto de fracciones (números racionales) sería, al igual que el conjunto potencia de IN, mucho mayor que IN.

Parece como si las contradicciones surgieran al cambiar de estrategia, usemos siempre la misma. Cuando tenemos un argumento evidente y claro que nos permita decir sin dudas cuando un conjunto infinito es más grande que otro igualmente infinito, no deberíamos dudar en usarlo y aceptarlo. Esto iría en contradicción con la aritmética de los transfinitos presentada por Cantor donde Alef cero mas Alef cero es igual a Alef cero, en nuestro caso A cero (IP) más A cero (II) es igual a 2 A cero (IN). Siempre que de forma inequívoca podemos establecer una comparación de este tipo no debemos temer hacerlo.

En realidad podría decirse que solo existe un conjunto numérico infinito, el de los naturales, podríamos llamarlo el conjunto infinito patrón, por su facilidad para contar, para numerar, para obtener el cardinal. Está compuesto de múltiples subconjuntos, a su vez infinitos, los pares, los impares, los múltiplos de cualquier número natural, los  primos, etc. El conjunto de los enteros sería un duplicado de este conjunto numérico patrón. El conjunto potencia de este conjunto patrón, también sería una multiplicación del conjunto patrón, pues ese conjunto potencia está compuesto del conjunto de unitarios que sería una copia del original, del conjunto de parejas, del conjunto de tríos, etc.

Los reales entre el 0 y el 1, si queremos decir algo sobre él, debe ser un conjunto operable, de lo contrario no tiene sentido ni hablar del tema, esto quiere decir que necesariamente el segundo número debe terminar en 1 y que la cantidad anterior, que era infinitos ceros, mengua en un numero, es decir pierde el “ultimo” cero que se convierte en un 1. ¿Podemos dejar el infinito para los restantes ceros? ¿Tiene esto sentido? ¿Es este infinito al que hemos cambiado un cero por un uno igual de grande?

Si queremos operar con este conjunto debemos aceptar una serie de normas, de lo contrario no tendría sentido plantearnos ninguna cuestión ni intentar estrategias mecánicas o dialécticas en la biyección.

Por lo tanto, debemos considerar este infinito como acotado al principio y al final, siendo un infinito hacia dentro. Esto nos permite dar el salto de infinitos cero a terminado en uno y así poder construir la sucesión, con lo que se puede plantear la biyección con los naturales. En la práctica solo podemos nombrar algunos miembros del conjunto, como el numero infinitos unos, o doses, etc., o el “sucesor de” de esos números. En realidad, el mero salto de los números 0,00… a 0,10… es ya inviable ni para el hombre ni para la maquina, pero fingimos que lo podemos hacer para plantearnos las cuestiones de la biyección.

El intervalo 0-1, en números reales es infinito, cada uno de sus integrantes a su vez, son infinitos, pero en estos intervalos acotados pero infinitos hay algo que chirria, como he dicho el segundo miembro debe ser el infinitos ceros y acabado en uno, al igual que el intervalo 0-1 este primer número también empieza por cero y acaba en uno y el infinito es hacia dentro ¿Cuál es la naturaleza de este infinito hacia dentro? Porque si hablamos del último número, el infinitos nueves, parece menos conflictivo, porque el infinito no parece hacia dentro, aunque de hecho debería serlo al igual que el anterior, aunque también debe acabar en 9 necesariamente, pero ¿puede “acabar” un número infinito? De no ser así no podríamos hablar del intervalo 0-1.

Es en esta indefinición del asunto donde creo que se asienta el argumento de la diagonal de Cantor, como no sabemos muy bien de que estamos hablando por eso podemos hacer surgir un número nuevo, que no estaría en la lista, pero no.

En este avanzar del infinitos ceros terminado en 1 hasta el infinitos 9, no se alcanzaría nunca, pero como sucesión lógica si debe ser posible y a esto nos agarramos para hacer la construcción del intervalo. Pero claro esta “lógica” está basada en nuestra intuición finita.

Y SIN EMBARGO CANTOR TENIA RAZON

Pero no por el argumentos de la diagonal, que ya he demostrado que es falso, sino por la distinción que el mismo establece entre los números enteros finitos y los infinitos

El asunto clave de toda esta exposición lo encontramos en la pág. 123 de su Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Editorial Crítica 2006), donde dice:

“Mostraremos ahora cómo se llega a las definiciones de los nuevos números y de qué manera surgen los segmentos naturales que yo llamo clases numéricas  en la serie absolutamente infinita de los verdaderos números enteros. A esta explicación quiero añadir solamente los principales teoremas sobre la segunda clase numérica y su relación con la primera. La sucesión (I) de los verdaderos números enteros positivos 1, 2, 3,…, v (nu minúscula),… tiene su principio de formación en la repetida posición y unión de unidades que se toman por base y son consideradas como iguales; el número v es la expresión tanto de una determinada cantidad finita de tales posiciones, como de la unión en una totalidad de las unidades puestas. La formación de los verdaderos números enteros finitos se basa pues en el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible; a este momento, que desempeña también, como enseguida veremos, un papel esencial en la generación de los números enteros superiores, lo llamo primer principio de generación. La cantidad de números v de la clase (I) así formados es infinita y no hay ninguno que sea el mayor de ellos. Aunque sería por tanto contradictorio hablar del mayor número de la clase (I), no hay por otra parte nada objetable en concebir un nuevo número, al que llamaremos w (omega minúscula), que será expresión de que la colección (I) completa está dada regularmente conforme a su sucesión natural. (Similarmente a como v expresa que una cierta cantidad finita de unidades han sido unidas en una totalidad). Es admisible incluso considerar al recién creado número w como el límite al cual tienden los números v, siempre y cuando no se entienda por esto sino que w ha de ser el primer número entero que sigue a todos los números v; esto es, ha de ser considerado mayor que cualquiera de los números v.”

El mismo menciona la palabra “contradictorio”, porque se habla de que una colección infinita está dada. Es más claro cuando considera a w como el límite al cual tienden los números v. Esto se puede interpretar de la siguiente manera: los números naturales finitos (en extensión de cifras de cada número) son infinitos en cantidad de tales números, dado que siempre podemos añadir una unidad a cualquiera de ellos y por tanto ampliar la colección, por lo tanto se puede decir que cualquier numero natural finito tiene infinitos ceros a su izquierda sea como sea de grande el número, sin embargo imaginamos otros números que ya parten directamente de la infinitud, el más pequeño de ellos sería w, el cual ya tendría una extensión de cifras infinita, w sería infinitos ceros, con las normas actuales los ceros a la izquierda no significan nada, en esta teoría esto debería cambiar, igual que Cantor considera que w no es par ni impar, ni tiene validez la propiedad conmutativa, nosotros debemos cambiar la norma de que los ceros a la izquierda no valen nada, así tendríamos que decir que lo mismo que es cero el primer número natural, infinitos ceros sería el primer transfinito, esta noción de infinitos ceros debe entenderse como una extensión determinada, de tal forma que si decimos “infinitos ceros y terminado en uno” debemos suponer que tiene la misma extensión, de tal forma que se ha sustituido un cero por un uno. En este contexto lo que Cantor quiso decir con su diagonal, sería reexplicado. El intervalo O-1 no puede biyectarse con los números naturales.

El primer transfinito sería infinitos ceros, y sería mayor que cualquier número natural, de la misma manera que el número cero es mayor que cualquier número negativo, no es lo mismo no tener dinero que tener deudas, en el número transfinito infinitos ceros ya estarían acumulados todos los números naturales, sería w. Así definiríamos que un número natural, por muy grande que sea siempre está compuesto de una cantidad finita de cifras, mientras que un número transfinito siempre se compone de una cantidad infinita de cifras, en la biyección que pretendemos realizar en la Diagonal de Cantor, entre el intervalo 0-1 y los naturales, ocurre lo siguiente, aunque los números transfinitos estén compuestos de infinitas cifras, pueden tratarse como una unidad, así al número infinitos ceros lo biyectamos con el cero, al siguiente, infinitos ceros y terminado en uno, lo biyectamos con el uno y así sucesivamente. Este proceso es muy interesante. Si suponemos una estrategia mecánica tendríamos que decir que la biyección sería posible, pues por inducción los naturales no se acabarían nunca y los suponemos suficientes para cubrir el otro conjunto, sin embargo si aceptamos la distinción entre números finitos y números transfinitos, en ese proceso hay un salto que los naturales no pueden dar por inducción, lo que impediría la biyección.

Resumiendo, consideramos que cualquier número natural, por muy grande que sea, tiene una cantidad de ceros imaginarios a su izquierda infinita y que nunca puede romper esa barrera por más que crezca, sin embargo un número transfinito ya parte de la infinitud y por consiguiente no tiene que romper esa barrera, así podemos pensar un transfinito que tenga solo cuatro ceros a su izquierda, y la infinidad quede a su derecha, o un transfinito del que conozcamos su primer y último número y que la infinidad quede “en medio”, por supuesto, este “en medio” quiere decir que también tiene infinidad a su izquierda y a su derecha.

Es por esta razón por la que la biyección no puede realizarse, los naturales no pueden romper la barrera interna del infinito y por lo tanto no pueden biyectar a los que sí lo han hecho ya.

 

“La esencia de la matemática radica precisamente en su libertad”

Fundamentos para una teoría general de conjuntos