NIEBLA EN LA NIEBLA
Fermín Huerta Martín
Escrito en 2005
Los dos filósofos materialistas mas importantes del presente, han hecho una decidida apuesta por el infinito y contra el Big Bang. Mario Bunge y Gustavo Bueno así lo han declarado en varias ocasiones. Y es que la cuestión parece estar en una de estas dos opciones o el Universo es eterno (podríamos decir que es el conjunto de los números enteros que es infinito a los dos lados del cero, que sería el presente) o comenzó en un instante pasado (podríamos decir que es el conjunto de los números naturales donde el cero es el momento del Big Bang o comienzo y vamos por el número 15 mil millones). Dado que esta segunda opción parece mas dada a interpretaciones metafísicas y religiosas (intervención divina) y dado que ambos se declaran ateos y defensores del lema EX NIHILO NIHIL FIT (nada se origina a partir de la nada), la opción que queda, si es que solo hay estas dos, es el infinito. Pero así como la opción "comienzo" es criticada muchas veces, la opción "infinito" se da por aceptada de forma apagógica sin mayor critica. Y la verdad es que se puede criticar, como intentare demostrar en este artículo.
Dice Kant en la tesis de su primera antinomia:
"Es imposible una serie cósmica infinita transcurrida".
Curiosamente un Universo temporalmente infinito hacia delante no da problemas, por que en realidad nunca llega a la infinidad, solo crece finitamente sin fin. Pero siempre es finito. Y este es precisamente el meollo del argumento contrario al infinito temporal pasado. El problema surge al plantear que ha transcurrido un periodo de tiempo infinito hacia atrás. Al topar con el concepto de infinito tenemos que intentar saber de que estamos hablando, y es que una de las características del infinito es que temporal y espacialmente en un universo infinito la distancia entre dos puntos es finita, en un conjunto infinito hay series infinitas pero no intervalos infinitos. Si lo comparamos con el conjunto de los números enteros y decimos que el presente es el cero, el pasado es el menos infinito y el futuro es el mas infinito, pero si concretamos dos números del conjunto, por ejemplo menos un billón y mas tres billones, su distancia con ser muy grande es finita. El infinito parece quedar siempre fuera de la sucesión. Un conjunto infinito puede tener partes finitas, pero no una mitad finita, ni una décima parte finita. O sea esa parte finita no tiene proporción con el todo y sin embargo el todo se compone de esas partes aproporcionales.
O sea que el infinito en cuanto siempre ampliable no da problemas, es un ir haciéndose sin fin, el infinito da problemas en cuanto estar hecho ya. Decir que ha transcurrido un infinito de tiempo no tiene sentido.
Sin embargo el pensamiento de un universo infinito espacialmente no ofrece los problemas del universo infinito temporalmente, la infinitud espacial no afecta al desarrollo de los acontecimientos en dos lugares separados. Temporalmente la relación causa-efecto, momento-momento se tiene que recorrer. Espacialmente no.
Por lo tanto tenemos que decir que el infinito no es una cantidad, no puede representarse con un número, como el número 4 representa cuatro cosas, el infinito es la negación de cualquier cantidad, y mucho menos puede haber mas de un infinito.
Por lo tanto podemos usar una palabra que no es un número, por que el infinito no es una cantidad, como Aleph, como hizo Cantor, por que parece que al hablar de infinito es ineludible hablar de Cantor.
Podemos aceptar algo que va contra el sentido común, como es que un conjunto infinito tiene subconjuntos infinitos igual de grandes. Podemos aceptar que sean igual de inacabables, aunque el sentido común nos diga que el conjunto de los números pares es la mitad de infinito que el conjunto de los números naturales. Pero si aceptamos esto de que un infinito no puede tener partes proporcionales, y por lo tanto no puede tener una mitad, podemos decir que son ambos infinitos aunque uno este dentro del otro. Por que en la biyección que prueba su igualdad, el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, el 4 con el 8, etc. El infinito queda para los números aun no biyectados.
Pero es que además, es el aceptar esto lo que nos impide aceptar lo otro, es decir, si aceptamos que solo hay un infinito, que seria mas un nombre que un numero, para designar un proceso que no puede acabar, debemos aceptar que todos los conjuntos infinitos en cuanto proceso sin fin son iguales, no puede haber cosas sin fin mas grandes que otras, y no podemos hacer operaciones con estos nombres como si fueran números , a 2 no podemos elevarlo a Aleph cero como no podemos elevar 2 a patata. Por eso es ridículo el argumento de que el conjunto de las partes de Aleph cero es mayor que Aleph cero, o sea es 2 elevado a Aleph cero, por que Aleph cero es un proceso, no un numero ni una cantidad, y el que lo acepta debería replantearse que anteriormente halla aceptado que el conjunto de los números pares sea igual que el de los números naturales. Por que si en la biyección Aleph cero----Aleph uno quedarían elementos sueltos de Aleph uno en la biyección números pares----números naturales también, bastaría biyeccionar cada numero par del primero con un número par del segundo y tendríamos todos los impares del segundo sin biyeccionar. Y por lo tanto el segundo sería un infinito el doble de grande del primero. Pero aceptar esto implica negar la jerarquía de los Aleph que es lo que motivó la frase de Hermann Weyl que da titulo a este artículo, al decir que era niebla en la niebla. Y es que la famosa prueba esgrimida por Cantor para demostrar que Aleph uno era mas grande que Aleph cero siendo ambos infinitos, o sea la diagonal de Cantor que demostraría que Aleph uno no es numerable por que siempre se puede encontrar un número que no este en la serie, tiene el problema de que se da por sentado que los miembros de Aleph uno no se pueden ordenar, por que si se ordenasen serian coordinables con Aleph cero y por lo tanto iguales. De hecho en los ejemplos de la diagonal de Cantor se ponen números desordenados para que así el efecto de la aparición del nuevo número sea mayor, pero es iluso por no decir ridículo pensar que entre 0 y 1 hay un infinito no coordinable con N. Afirmamos que de dos números desplegados del tipo 0´XXX… se puede saber si uno es mayor que otro. Por que en ese despliegue debe llegarse a un digito diferente que ordene inmediatamente uno con respecto al otro y así con todos.
Los números decimales infinitos que se ponen de ejemplos en la diagonal de Cantor, no son números son pseudonúmeros, por que un número o es definido por una relación y se le da un símbolo para identificarlo como raíz cuadrada de 2, pi, e, etc. o se lo muestra entero, como son infinitos no se pueden mostrar enteros, por lo tanto si no tenemos un procedimiento para encontrarlo, no sabemos de que número estamos hablando si no lo escribimos entero y como ello no es posible, no tenemos propiamente un número tenemos un esbozo de un número.
Resumiendo en una serie Aleph uno ordenada no habría ningún número fuera de sitio y seria coordinable con Aleph cero.
La conclusión principal a la que podemos llegar tras lo expuesto es la siguiente:
Es igual de absurdo considerar que el mundo tuvo un comienzo o que a existido siempre, dadas las contradicciones a las que se llega en cada caso. Pensamos que no cabe una tercera posición, y que todos los intentos de buscar algo alternativo a esto nos termina remitiendo a lo mismo (Dios, a existido siempre o se creó a si mismo), la elección de la solución infinitista reduce a uno el problema (¿Cómo pudo haber transcurrido desde el pasado una cantidad infinita de tiempo?) mientras que la solución finitista produce mas problemas (¿Con que toca el limite espacial y temporal del universo?) y por eso se prefiere. Es la elección apagógica: "Es verdad por que las alternativas son peores".
Sin embargo pensamos que tan absurdo es que el mundo surja de la nada sin causa, como que exista después de recorrer una distancia temporal infinita.
La referencia al principio Ex nihilo nihil fit es aceptada y constante, pero parece mas bien una ley fenoménica, categorial, en el mundo diario las cosas no surgen de la nada ni desaparecen. Pero ¿es esto extrapolable al mundo ontológico?
¿Por qué extrapola Bueno esto, cuando no lo hace con otros aspectos de lo categorial?, ¿es posible que ontológicamente surgiera el mundo de la nada, sin motivo y sin agente externo?, ¿Qué leyes rigen el nivel ontológico?, ¿podría desaparecer el mundo de repente y volver a la nada, de igual manera?.
Esto sería tanto como aceptar una cierta legalidad dentro del paréntesis pero no en sus extremos, lo cual no deja de ser tan absurdo como pretender que hemos llegado al momento actual después de recorrer un tiempo infinito pasado.
Añadido en 2012
En junio de 2011 en el interesante blog http://eltamiz.com/ hubo una discusión sobre este tema y tuve la temeridad de participar, un poco por curiosidad y partiendo de la base de que yo era un simple aficionado, aquí os copio el resultado.
http://eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/
“Fermín Huerta Martín|01/07/2011 at 17:40|Permalink
Siempre que veo esta demostración de la diagonal me sorprende que los números del lado derecho se pongan sin ningún orden, el tercero es mas pequeño que el segundo, el quinto mas pequeño que el cuarto. Pero el lado izquierdo si que esta ordenado. El truco esta también en que los números donde hay puntos suspensivos no son números, son una especie de dibujo que mezcla números y puntos suspensivos. Los números reales se pueden ordenar, los que pones como ejemplos se pueden ordenar de menor a mayor, así también cualquiera dos números reales llegan a un decimal que los diferencia, por lo tanto se pueden ordenar mutuamente y por lo tanto coordinar con los número naturales. Lo de Cantor es una tomadura de pelo monumental o como se dijo una vez: niebla en la niebla.
Cristo|01/07/2011 at 20:41|Permalink
@Fermín Huerta Martín, una ordenación total no implica numerabilidad. Fíjate que para numerar los racionales hemos tenido que romper completamente su orden usual.
Un saludo,
Sergio B|01/07/2011 at 22:46|Permalink
@Fermin, yo no veo ningun truco en lo de los puntos suspensivos, simplemente es una forma de no escribir todos. Si vas siguiendo filas o columnas, el problema es que nunca los cogeras todos, por que si dices que primero van los de la primera fila y luego los de la segunda, nunca llegaras a la segunda, haciendo diagonales sigues un camino con el que recorres todos inequivocamente. En lo de los reales, el problema no es ordenarlos, en la demostracion se parte de que se han ordenado.
Fermín Huerta Martín|02/07/2011 at 19:01|Permalink
Si el conjunto esta ordenado, el número que se fabrica en la diagonal debe estar en ese conjunto en su sitio, a no ser que nos lo saltemos para que el truco funcione. Pretender que un conjunto infinito es mas grande que otro conjunto infinito es igual de absurdo que pretender que un número primo es mas primo que otro número primo, o que un número par es mas par que otro número par. Intuitivamente es mucho mas fácil ver que el conjunto de los número naturales es el doble de infinito que el conjunto de los números impares y no necesitamos hacer ninguna diagonal para ello, se ve a simple vista, a pesar de ello se apela a la biyección para matar la intuición. Sin embargo con la diagonal pretenden matar la biyección para intentar demostrar que después de todo si hay diferencias de tamaño entre conjuntos infinitos, con un truco digno de un prestidigitador. El mismo truco que se usa para intentar demostrar que una superficie contiene los mismos puntos que una línea. ¿De verdad creéis que existe algún matemático de los que aceptan eso, que cuando vaya a comprar un piso de 80 metros cuadrados y le quieran dar una pared de ladrillos de 80 metros y le diga el vendedor que contiene los mismos puntos que el piso y que ya puede ir colocando el sofá, los armarios, las camas, etc., el matemático crédulo lo aceptaría?
Naka Cristo|02/07/2011 at 19:51|Permalink
Fermín, te repito que haber ordenaciones no tiene nada que ver con que haya una biyeción. Por ejemplo tenemos una biyección clara entre los complejos y R^2, sin que ninguno tenga una ordenación “natural”. Y no es algo que se acepte, es algo que se demuestra. Lo que puedes aceptar o no son los conjuntos de axiomas, como el http://es.wikipedia.org/wiki/ZFC que se asume por una gran cantidad de matemáticos. Y no sé a que viene el ejemplo del piso, ¡qué tendrá que ver el cardinal con una propiedad métrica! Recuerda además resultados un tanto antiintuitivos relacionados, como la paradoja de Banach-Tarski.
Sergio B|02/07/2011 at 20:32|Permalink
@Fermin El problema es que por mas que nos empeñemos la matematica no es, ni tienen la intencion de serlo, una ciencia o algo relacionado con la intuicion. Es un lenguaje, con unas reglas y unas bases axiomaticas, que son asi por que si, ni reales ni intuitivas, y que luego da la casualidad de que se pueden usar, bueno, no es que sea casualidad, por que se han desarrollado para algo, pero vamos, que no esta en sus bases. Desarrollos fisicos o quimicos usando la matematica si que pueden llevar a absurdos, como bien explicas, la superficie real de un piso no tiene mucho que ver con los puntos de la pared, pero bueno, una cosa es una superficie real y otra una matematica, se diferencian en que una tiene unidades y la otra no.”
Para acabar copio una frase de Bunge de su libro El moblaje del mundo página 194:
“No hay ningún motivo para esperar que la matemática pura sea capaz de desvelar, por sí sola, la estructura de la realidad”.
Voy a partir mi comentario en cuatro, porque Blogger no me deja poner un comentario tan largo.
ResponderEliminarSon bastante extrañas todas tus observaciones acerca del infinito y también el hecho de que quieras usar tus observaciones matemáticas para mostrar que no tiene sentido hablar de un universo infinito. Esto último porque estás pensando que las matemáticas se refieren al mundo, pero ninguna parte de ellas se refiere a él; es decir, no puedes mostrar lo absurdo de la infinitud del universo haciendo observaciones sobre los números enteros, pues el conjunto de estos o cualquier otro conjunto de números no se refiere a nada en el universo. Hacer esto es tan absurdo como considerar que el famoso teorema llamado la Paradoja de Banach-Tarski demuestra que Cristo pudo multiplicar los peces y el pan al hacer uso de tal teorema. Ese teorema precisamente muestra (y no digo demuestra) que las matemáticas no se refieren a la realidad física. Estás igualando proceso con número de elementos de un conjunto, lo primero es un concepto fáctico y lo segundo no.
ResponderEliminarTodas tus observaciones sobre el infinito están equivocadas (además de extrañas), y ahora voy a explicar por qué.
Dices:“Podemos aceptar que sean igual de inacabables, aunque el sentido común nos diga que el conjunto de los números pares es la mitad de infinito que el conjunto de los números naturales. Pero si aceptamos esto de que un infinito no puede tener partes proporcionales, y por lo tanto no puede tener una mitad, podemos decir que son ambos infinitos aunque uno este dentro del otro. Por que en la biyección que prueba su igualdad, el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, el 4 con el 8, etc. El infinito queda para los números aun no biyectados”. El conjunto finito {0} no tiene mitad ni tercios ni cuarta parte ni quinta parte, etc; entonces, de acuerdo a tu razonamiento, concluiríamos que {0} es infinito, y que también lo sería el conjunto ∅. Es decir, la noción de proporcionalidad no tiene nada que ver con finitud o infinitud cuando estos conceptos se refieren a número de elementos.
No sé qué quieres decir con “El infinito queda para los números aun no biyectados” en “en la biyección que prueba su igualdad, el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, el 4 con el 8, etc. El infinito queda para los números aun no biyectados”, porque no queda ningún infinito. La biyección es la siguiente:
ResponderEliminarf:N→pares
n|→2n
cuya inversa es
f^(-1):pares→N
k|→k/2
Ambas funciones f y f^(-1) son biyectivas; es decir, son suprayectivas e inyectivas. Como f^(-1) es suprayectiva no hay ningún número en los naturales que nos sobre o quede sin emparejar, no hay ningún infinito que quede. Dado cualquier número natural, te puedo decir qué número par lo cubre. Si lo que quieres decir es que los impares no están siendo cubiertos, pues te digo que lo que nos interesa es una biyección entre los naturales y los pares, no entre los naturales y los naturales.
También dices: “Los números decimales infinitos que se ponen de ejemplos en la diagonal de Cantor, no son números son pseudonúmeros, por que un número o es definido por una relación y se le da un símbolo para identificarlo como raíz cuadrada de 2, pi, e, etc. o se lo muestra entero, como son infinitos no se pueden mostrar enteros, por lo tanto si no tenemos un procedimiento para encontrarlo, no sabemos de que número estamos hablando si no lo escribimos entero y como ello no es posible, no tenemos propiamente un número tenemos un esbozo de un número”. Según tu racionamiento, entonces la mayoría de los números reales son pseudonúmeros, pues la mayoría son irracionales, ya que su expansión decimal (o binaria o terciaria o la que sea) después del punto no se puede escribir como una sucesión periódica de dígitos (todos los racionales entre 0 y 1 se pueden escribir como una expansión decimal infinita periódica y viceversa, toda expansión decimal infinita periódica es un número racional). Estás cometiendo el error de confundir nombre con concepto. Casi ningún número real tiene nombre o se obtiene de una relación. Te recomiendo leer la representación de los números reales por cortaduras de Dedekind. Ahí no se habla para nada de expansiones decimales, si las expansiones decimales infinitas no periódicas te incomodan.
Ya por ahí mencionaron que orden no tiene nada que ver con numerabilidad. Tan es así que los ordinales se comportan de manera distinta que los cardinales.
ResponderEliminarY para seguir (y ampliar el) con el concepto de número, te recomiendo también el libro Surreal numbers de Donald Knuth.
Esas funciones que aparecen en la liga que pusiste no están puestas de forma explícita, y por eso aparecen con puntos suspensivos. Si quieres, te doy las funciones de manera explícita, y en estas no aparecerá ningún punto suspensivo, si eso te incomoda o confunde. Para hablar de los números reales en general, uno sólo supone, cuando uno escribe variables que los representen, los axiomas que nos dan todas sus propiedades que los caracterizan, y en este sentido, cuando escribo “si r y s son números reales”, no tengo que dar su expansión decimal o un procedimiento para obtenerlos para que sean lo que digo que son. Sólo basta que suponga las trece propiedades que menciona Michael Spivak en su libro para los números reales. Ahora lo que viene en la liga que pones, son esbozos de funciones, pues no están escritas de forma explícita, al igual que el esbozo de la demostración de Cantor. Del hecho que puedes escribir todos los elementos del conjunto de los números naturales, no concluyes que el conjunto de los números naturales es un pseudoconjunto.
Ahora, escribiré la demostración completa del argumento por la diagonal de Cantor, y no sólo un esbozo.
ResponderEliminarTeroema. La cardinalidad del conjunto de los números reales es mayor que la del conjunto de los números naturales.
Demostración. Bastará demostrar que el conjunto del intervalo abierto (0,1) tiene cardinalidad mayor que ℵ_0. Supongamos que tiene la misma cardinalidad. Entonces, todos los números del intervalo (0,1) están en biyección con N; por lo tanto, existe una función biyectiva f:N→(0,1); en otras palabras, para todo b∋(0,1) existe un n∋N tal que f(n)=b, y para cualesquiera n y m en N, si f(n)=f(m) entonces n=m. Esto significa que puedo númerar todos los elementos de (0,1). Digamos que dicha numeración es la siguiente:
b_0, b_1, b_2,...
Estás de acuerdo que no puedo escribir todos los números naturales, pero eso no significa que sean pseudonúmeros o que cualquier otra cosa rara. Sólo tengo que suponer que los b_i son mayores estrictos que cero y menores estrictos que uno y que son reales.
Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. (Nos interesan sólo los rasgos generales de dicha expansión, no las expansiones específicas, pues esto es una demostración, no un ejemplo, un caso particular). Entonces, tenemos lo siguiente:
b_0=0.b_00 b_01 b_02...
b_1=0.b_10 b_11 b_12...
b_2=0.b_20 b_21 b_22...
.
.
.
Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada b_ii, sea 0≤a_i≤9 un entero distinto de b_ii. Entonces, el número real a con expansión decimal
0.a_0 a_1 a_2...
no es ninguno de los anteriores b_i. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre (0,1) y N. (Nótese que se está dando un procedimiento para obtener a a).
También dices: “O sea que el infinito en cuanto siempre ampliable no da problemas, es un ir haciéndose sin fin, el infinito da problemas en cuanto estar hecho ya. Decir que ha transcurrido un infinito de tiempo no tiene sentido.
Sin embargo el pensamiento de un universo infinito espacialmente no ofrece los problemas del universo infinito temporalmente, la infinitud espacial no afecta al desarrollo de los acontecimientos en dos lugares separados. Temporalmente la relación causa-efecto, momento-momento se tiene que recorrer. Espacialmente no.
Por lo tanto tenemos que decir que el infinito no es una cantidad, no puede representarse con un número, como el número 4 representa cuatro cosas, el infinito es la negación de cualquier cantidad, y mucho menos puede haber mas de un infinito”. Aquí estás confundiendo dos conceptos de infinito: el de número de elementos con el de longitud o medida. En el segundo caso, el concepto se usa para conjuntos en los que se ha definido una métrica, y por lo tanto, se puede hablar de conjuntos no acotados, o de medida infinita, representada así: ∞, no mediante los ℵs.
Por último, dices: “Pretender que un conjunto infinito es mas grande que otro conjunto infinito es igual de absurdo que pretender que un número primo es mas primo que otro número primo, o que un número par es mas par que otro número par”. Lo que se dice es que el número de elementos de un conjunto es mayor que el número de elementos de otro conjunto, no que un número es más infinito que otro. Podemos decir que un número primo es mayor que otro primo.
Por último. Sí se puede calcular 2 a la ℵ_0: sólo calculas la cardinalidad del conjunto de todas las funciones que van de N (el conjunto de los números naturales) a {0,1}. Tal conjunto es el mismo que el cojunto de todas las sucesiones de 0s y 1s, las cuales podemos pensarlas como las expansiones binarias de los números reales en el intervalo [0,1]. Y por lo tanto, 2 a la ℵ_0=ℵ_1.
ResponderEliminarPerdón, un erratum: donde digo: “Del hecho que puedes escribir todos los elementos del conjunto de los números naturales, no concluyes que el conjunto de los números naturales es un pseudoconjunto”, debería decir: “Del hecho que no puedes escribir todos los elementos del conjunto de los números naturales, no concluyes que el conjunto de los números naturales es un pseudoconjunto”.
ResponderEliminarUna nota más sobre la confusión de nombre y concepto. El concepto del 1 como número real lo puedo representar de muchas formas, como en las siguientes:
ResponderEliminar1
0.̅9̅
0.̅9̅9̅
0.̅9̅9̅9̅
0.999...
Sin embargo, lo importante son las propiedades que supongo tiene tal número, no cómo lo denote (nótese que no estoy diciendo “cómo lo represente”); es decir, lo importante es que supongo que al multiplicarlo con cualquier otro número me da ese otro número, ya sea que lo multiplique por la derecha o por la izquierda.
Así, en la demostración mediante el argumento por la diagonal, lo importante es que suponga que los reales tienen las propiedades de los números reales y que suponga que la notación que elijo para representarlos tenga las propiedades de la representación; en este caso, mediante expansiones decimales. Ora sí que nombre, representación y concepto son tres cosas diferentes.
Quique:
ResponderEliminarGracias por escribir, la verdad es que desde que publiqué el artículo esperaba que hicieras algún comentario, conociendo tus intereses y capacidades para replicarme. No me has defraudado con tus puntualizaciones.
Dices que mis observaciones sobre el infinito están equivocadas y son extrañas, esto se debe a que soy un simple aficionado a estas cuestiones, con escasa preparación y lecturas insuficientes, como la sabiduría no se adquiere de un día para otro, en mis respuestas me reitero en mis equivocaciones extrañas.
Sobre que ninguna parte de las matemáticas se refieren al mundo, estoy de acuerdo contigo en el sentido en que lo dices, pero mi limitado uso de las matemáticas se basa en lo que Bunge escribió en su artículo ¿Cómo existen los objetos matemáticos?, donde dice: “La matemática nos ayuda a descubrir estructuras y regularidades, así como a plantear y resolver problemas de toda clase en todas las ramas del conocimiento y de la acción racional. Así, lejos de evadirnos de la realidad, las ficciones matemáticas son necesarias para comprender y controlar esta realidad”.
Dices: “El conjunto finito {0} no tiene mitad ni tercios ni cuarta parte ni quinta parte, etc.; entonces, de acuerdo a tu razonamiento, concluiríamos que {0} es infinito, y que también lo sería el conjunto Ø.”
Ya digo en mi artículo que un conjunto infinito puede tener partes finitas, pero no una mitad finita, ni una décima parte finita. O sea esa parte finita no tiene proporción con el todo y sin embargo el todo se compone de esas partes aproporcionales.
Los dos ejemplos que tu citas de conjuntos directamente no tienen partes.
Dices: “Lo que se dice es que el número de elementos de un conjunto es mayor que el número de elementos de otro conjunto, no que un número es más infinito que otro”.
Pero es que da la casualidad de que el número de elementos de esos conjuntos es infinito.
Como digo en mis comentarios al blog El Tamiz, puedo aceptar que el conjunto de los números naturales (infinito) sea biyectable con el conjunto de los números pares (infinito), a pesar de que podría biyectar el conjunto de los números pares con la parte del conjunto de los naturales que son pares, no me quedaría ningún par por biyectar en el conjunto de los números pares, mientras que en los números naturales tendría todos los impares libres.
Para luego decirme que no puedo biyectar aleph cero y aleph uno.
Lo que se pretende con la diagonal de Cantor es sacar de la chistera o de la manga del ilusionista un número, en el ejemplo del blog El Tamiz el 0´292312..., un número ordenable entre otros, pero un número fantasma, porque cuando se biyecta con los números naturales, tenemos números naturales para el anterior y el posterior pero no para el.
Conclusión: solo puede haber un conjunto numérico infinito.
Lo que demuestra el argumento por la diagonal de Cantor (el que te puse acá arriba; olvida el de Tamiz, ya que es confuso porque habla de orden y ordenar no tiene nada que ver con contar, aunque ese argumento sí es equivalente) es que no puede haber una función suprayectiva f:N→R (de los naturales sobre los reales). Por otro lado, como sí hay una función inyectiva de N a R (la inclusión); el número de elementos de N es estrictamente menor que el de R. Así que hay varios cardinales infinitos; de hecho, hay una infinidad de cardinales infinitos. (Te sugiero que tomes en cuenta este comentario después de leer el texto que te envié).
ResponderEliminarEl excelente texto a que se refiere Quique lo podéis leer en este enlace de su blog:
ResponderEliminarhttp://ochopatas.blogspot.mx/2012/06/concepto-de-numero.html
A el me refiero en mi siguiente comentario.
Quique:
ResponderEliminarDespués de leer tu magnifica exposición solo me queda reiterarme en mis posiciones y decirte:
1- Un conjunto infinito no tiene cardinal, porque no tiene ultimo elemento.
2- Solo puede haber un conjunto numérico infinito, que puede tener varios nombres, estos serian biyectables entre si, por que son el mismo.
3- El conjunto infinito no puede tener conjunto potencia, este solo podría ser un subconjunto del primero, igual de grande (por lo tanto sería el conjunto infinito con otro nombre). El mismo caso se da con los pares y los naturales.
4- Infinito es una palabra no un numero. No tenemos capacidad para manipular numéricamente esta palabra.
5- El no usar la diagonal de Cantor ni las expansiones decimales ha sido estéril, por lo menos el truco de mago que se deriva de la “demostración” de la diagonal de Cantor produce entre los creyentes en la magia la ilusión de que se ha creado un numero inordenable, ¿sin anterior ni posterior? La táctica de usar el conjunto potencia no sirve, pues el conjunto infinito es como la velocidad de la luz no va mas rápido por partir de un objeto en movimiento en vez de parado. El conjunto infinito no puede aumentar, porque para eso tendría que tener ultimo elemento.
1. Que un conjunto sea infinito no tiene absolutamente nada que ver con que tenga último elemento. El intervalo cerrado [0,1] tiene último elemento; sin embargo, es un conjunto infinito.
ResponderEliminar3. Otra vez vuelves a confundir nombre con concepto. N sí tiene conjunto potencia, y son distintos. El conjunto {3,4,5}∈P(N), pero {3,4,5}∉N. El conjunto de los pares es elemento de P(N) pero no de N. Es decir, ¿cómo P(N) podría ser subconjunto de N si P(N) tiene elementos que N no tiene? El conjunto de los pares no es el conjunto potencia de los naturales ni viceversa.
2. La demostración de que |A|<|P(A)| no tiene ningún error. Ni siquiera supone el axioma de elección. (La demostración es la siguiente: sea f:A→P(A) una función. Sea
B:={x∈A | x∉f(x)}.
Entonces, no hay x∈A tal que f(x)=B. Así de simple es la demostración).
4. El concepto de número está asociado con el de biyección. Si es posible establecer una biyección entre dos conjuntos, sean finitos o infinitos, estos poseen el mismo número de elementos.
La palabra infinito no sólo es una palabra, su parte semántica puede referirse a varios conceptos: a que algo tiene longitud no acotada o que un conjunto no es finito. Se pueden contar los elementos de un conjunto finito o infinito. Ya dije cómo, mediante biyecciones. Tendrías que distinguir entre concepto y nombre.
¿Qué significa manipular numéricamente una palabra? ¿Qué se puede sumar? ¿Qué se puede multiplicar? Si ese es el caso, concuerdo que infinito no se puede manipular así en este caso, porque es una propiedad, no un objeto; es decir, de un objeto (un conjunto) se puede predicar si es infinito o no, pero de una propiedad no se puede predicar igualdad con otro objeto (conjunto): infinito es ℵ_0 es una frase sin sentido. ℵ_0 no es una propiedad, sino un objeto, y de él se pueden predicar propiedades, como si es mayor o menor que otro número. infinito y ℵ_0 se comportan de manera distinta.
5. La demostración de la diagonal no demuestra que exista un número inordenable; de hecho, todos los números reales tienen un orden usual; lo que demuestra es que no es posible definir una biyección entre los reales y los naturales. ¿Por otro lado, qué es un número inordenable?
La analogía con la velocidad es inaplicable, pues los conjuntos no tienen velocidad; no son objetos fácticos. Por otro lado, ya di un ejemplo de un conjunto infinito con último elemento; de hecho, hay muchos: todos los intervalos cerrados [a,b] tienen último elemento.
Más aún, el conjunto de los naturales con el orden inducido por la relación n divide a m (denotada n|m) otorga a los naturales un primer elemento y un último, a saber, el 1 (el primero) y el 0 (el último), respectivamente.
Creo que ya sé qué pasó. Perdón que vaya a escribir dos veces la demostración por la diagonal. Sólo es para mostrar lo que creo que está pasando. Escribí la siguiente demostración.
ResponderEliminar“Teroema. La cardinalidad del conjunto de los números reales es mayor que la del conjunto de los números naturales.
Demostración. Bastará demostrar que el conjunto del intervalo abierto (0,1) tiene cardinalidad mayor que ℵ_0. Supongamos que tiene la misma cardinalidad. Entonces, todos los números del intervalo (0,1) están en biyección con N; por lo tanto, existe una función biyectiva f:N→(0,1); en otras palabras, para todo b∋(0,1) existe un n∋N tal que f(n)=b, y para cualesquiera n y m en N, si f(n)=f(m) entonces n=m. Esto significa que puedo númerar todos los elementos de (0,1). Digamos que dicha numeración es la siguiente:
b_0, b_1, b_2,...
Estás de acuerdo que no puedo escribir todos los números naturales, pero eso no significa que sean pseudonúmeros o que cualquier otra cosa rara. Sólo tengo que suponer que los b_i son mayores estrictos que cero y menores estrictos que uno y que son reales.
Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente:
b_0=0.b_00 b_01 b_02...
b_1=0.b_10 b_11 b_12...
b_2=0.b_20 b_21 b_22...
.
.
.
Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada b_ii, sea 0≤a_i≤9 un entero distinto de b_ii. Entonces, el número real a con expansión decimal
0.a_0 a_1 a_2...
no es ninguno de los anteriores b_i. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre (0,1) y N”.
Lo que creo que provoca confusión es que haya escrito “Entonces, el número real a con expansión decimal
0.a_0 a_1 a_2...
no es ninguno de los anteriores b_i”. Con ‘anteriores’ me refería a que los b_i están arriba en el texto, y una disculpa por provocar la confusión si hubo tal. De hecho, puedes quitar la palabra ‘anteriores’ y se sigue demostrando que no hay una biyección entre N y (0,1), y por lo tanto entre N y R. Más aún, puedes cambiar (0,1) por [0,1] y se sigue demostrando que no hay una biyección entre N y R.
Haciendo esos cambios el teorema quedaría como sigue:
Teroema. La cardinalidad del conjunto de los números reales es mayor que la del conjunto de los números naturales.
Demostración. Bastará demostrar que el conjunto del intervalo abierto [0,1] tiene cardinalidad mayor que ℵ_0. Supongamos que tiene la misma cardinalidad. Entonces, todos los números del intervalo [0,1] están en biyección con N; por lo tanto, existe una función biyectiva f:N→[0,1]; en otras palabras, para todo s∈[0,1] existe un n∈N tal que f(n)=s, y para cualesquiera n y m en N, si f(n)=f(m) entonces n=m. Esto significa que puedo numerar todos los elementos de [0,1]. Digamos que dicha numeración es la siguiente:
b_0, b_1, b_2,...
Es decir que f(0)=b_0, f(1)=b_1, f(2)=b_2,... Que en general, f(n)=b_n para todo n∈N, donde b_n∈[0,1] para todo n∈N.
Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente:
b_0=0.b_00 b_01 b_02...
b_1=0.b_10 b_11 b_12...
b_2=0.b_20 b_21 b_22...
.
.
.
Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada b_ii, sea 0≤a_i≤9 un dígito distinto de b_ii. Entonces, el número real a con expansión decimal
0.a_0 a_1 a_2...
no es ninguno de los b_i; a≠b_0, porque a_0≠b_00; a≠b_1, porque a_1≠b_11; a≠b_2, porque a_2≠b_22; en general, a≠b_i, porque a_i≠b_ii para todo i∈N. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre [0,1] y N, y en consecuencia entre N y R.
Más todavía, la demostración donde se define B:={x∈A | x∉f(x)} para mostrar que no hay una suprayección entre un conjunto y su conjunto potencia es una generalización del argumento por la diagonal; sería muy largo explicar por qué lo es. En esa demostración no se menciona orden alguno, ni ninguna palabra que implique orden ni la demostración lleva implícita la noción de orden.
Quique:
ResponderEliminarEn los intervalos cerrados, la infinidad es sui generis, podríamos decir hacia dentro en lugar de hacia fuera, no deja de ser curioso que un intervalo cerrado infinito [0,1] con primer y ultimo elemento se pretenda mas grande que el conjunto de los números enteros que no tiene primer ni ultimo elemento por ejemplo. Pero este ultimo elemento del intervalo cerrado (el 1) no informa de su cardinalidad.
En el intervalo cerrado son las expresiones decimales las que no tienen ultimo elemento.
Evidentemente el conjunto potencia de N es distinto de N, yo me refería a la numerabilidad de cada uno de los subconjuntos tomados como unidad. Evidentemente el conjunto {3,4,5}no pertenece a N, pero puede computarse como una unidad a la hora de contarlo.
Podríamos bautizar a N el referente básico de ese conjunto numérico infinito, por tener la propiedad de autocontarse, debido a la coincidencia en su despliegue habitual de que su ultimo ordinal es el cardinal.
¿Cómo es posible que los números reales tengan un orden usual y no se puedan biyectar con el orden usual de los naturales?
Es como si en el ejemplo que citas de contar ovejas, hubiera una ordenación de las mismas que no permitiera contarlas.
Un número inordenable es el que encuentra la diagonal de Cantor para demostrar que R tiene mas miembros que N. Si ese numero esta ordenado, ¿Por qué no se iba a poder contar?.
En matemáticas no se habla de infinidad hacia dentro o hacia fuera. No sé qué quieras decir con eso.
ResponderEliminarEl tamaño de un conjunto no tiene nada que ver con algún orden que se le pueda dar. De hecho, los conjuntos se pueden ordenar de muchas maneras.
Definición. Sea A un conjunto no vacío. Entonces un orden (u orden parcial) sobre A es un subconjunto P de AxA (es decir, es una relación sobre A) tal
(i) P es reflexiva
(ii) P es transitiva
(iii) P es antisimétrica.
Dado un conjunto, a este se le puede dar una estructura, pues un conjunto es básicamente sólo una colección de objetos. Cuando uno considera al conjunto de los naturales como conjunto, sólo se lo está considerando como eso, y entonces se le denota N. Si además se está considerando a tal conjunto con un orden P, entonces se explicita escribiendo (N,P). Si P es el orden usual, se escribe (N,≤). Esto significa que un conjunto se puede ordenar de muchas maneras. Por ejemplo, la relación n|m induce un orden sobre N. 1|n para todo n∈N, así que 1 en (N,|) es el primer elemento. Para todo n∈N n|0; esto significa que 0 en (N,|) es el último elemento. (Dado un conjunto ordenado (A,P) que además es un retículo con primer elemento y un a∈A, se dice que a es un átomo de A si 0Pa y no existe b∈A tal que 0Pb y bPa. Todo retículo es un conjunto ordenado, pero no todo conjunto ordenado es un retículo). Los átomos de N son los números primos. Sin embargo, (N,≤) tiene un solo átomo, el 1.
Si lo que te interesa es comparar conjuntos ordenados, tienes que tomar en cuenta la estructura. Es decir, hay que extender la noción de función (entre conjuntos sin estructrura o conjuntos a secas) a conjuntos con un orden.
ResponderEliminarDefinición. Si (A,P) y (B,Q) son dos conjuntos ordenados, entonces una función f:A→B es un morfismo entre conjuntos ordenados (también se dice que preserva orden o que es una función monótona) si para cualesquiera a_1,a_2$isin;A con a_1≤a_2 entonces f(a_1)≤f(a_2). Se dice que f es un isomorfismo de conjuntos ordenados si f es monótona y biyectiva.
Es decir, para poder comparar conjuntos con un orden se necesita que la función entre estos sea monótona. Si no lo es, entonces dicha función no está comparando el orden, pues no lo preserva cuando va de un lado al otro. Cuando se trata de contar, no interesa el orden o estructura de orden que se haya añadido a los conjuntos en cuestión; porque al contar no nos interesa el orden en que contemos, sólo el número de elementos. Si me interesa el orden en el conjunto {1,2,3}, escribiría 1<2<3. El conjunto {1,2,3} está considerado sin orden, pues {1,2,3}={2,3,1}={3,2,1}.
Esto muestra que contar no tiene nada que ver con ordenar. Sin importar como ordene mi conjunto de ovejas, conserva su número de elementos.
Las expresiones decimales, como llamas a las expansiones decimales, en el intervalo cerrado [0,1] sí están ordenados, pues representan los números reales en ese intervalo. El primer elemento es 0.00000... y el último es 0.999999....
ResponderEliminarN con su orden usual no tiene último ordinal.
“¿Cómo es posible que los números reales tengan un orden usual y no se puedan biyectar con el orden usual de los naturales?”. No nos interesa preservar el orden con la biyección que elijamos, pues sólo nos interesa el número de elementos, no cómo estén ordenados.
En matemáticas no existe la definición de un número inordenable. Ordenar no tiene nada que ver con contar.
Me quedo pensando en lo de la magia y no sé qué quieres decir con eso de que demostrar que no existe una biyección entre N y R es un acto de magia, si precisamente es una demostración. Sin embargo, tengo la impresión de con eso quieres decir que hay un error en algún lado en la o las demostraciones. De haber algún error, este podría ser sólo de índole lógico, conceptual u ontológico.
ResponderEliminarNo puede ser ontológico, porque las matemáticas no se refieren a los entes de la realidad como ocurre en los argumentos cosmológicos de Aquino: los errores de esos argumentos no son lógicos, pero sí ontológicos porque sus afirmaciones acerca de las pautas del ser y el devenir está equivocadas. En este caso, como se trata de matemáticas, no puede haber tales errores.
Las demostraciones que nos conciernen tampoco tienen errores lógicos. Conceptuales tampoco porque esos conceptos de números transfinitos no presenta ninguna inconsistencia con las demás partes de las matemáticas: estaría muy extraño que ningún matemático las haya detectado (pero, al parecer, tú sí).
Las objeciones que se tuvieron a tales conceptos cuando se presentaron a la comunidad matemática y lógica por primera vez sólo son de las siguientes formas: prejuicios hacia la noción de números infinitos, pues ninguna de esas objeciones fue un argumento; es decir, no se señaló ningún error lógico en las demostraciones de Cantor, sólo se decían cosas como “I don't know what predominates in Cantor's theory – philosophy or theology, but I am sure that there is no mathematics there”. Ni siquiera se habla de un dios en sus argumentos ni de afirmaciones sobre el mundo; sólo son afirmaciones sobre objetos matemáticos. Otro tipo de objeciones son del tipo que afirman que esas demostraciones no son constructivas o que alguna usa el axioma de elección. En matemáticas hay muchos tipos de demostraciones: por inducción matemática, por contradicción, constructivas, por el axioma de elección y por combinaciones de estas, y quizá más. Algunos teoremas se demuestran ya sea de una manera o de otra, pero se llega al mismo resultado. Unas demostraciones son más informativas que otras; por ejemplo, las constructivas son más que las por contradicción, o que las por inducción matemática.
Es decir, las objeciones no son por errores lógicos o conceptuales, sino por prejuicio o por de qué tipo se cree que deben ser las demostraciones (porque unas informan más que otras).
Mira, discúlpame, pero parece que sólo estás jugando a hacer matemáticas, que en realidad no te comprometes a entender las definiciones o a investigarlas, que no te comprometes a entender las demostraciones y que sólo estás adivinando de qué tratan, y eso hace que este intercambio sea en vano. Espero que no sea el caso (que nomás estás jugando).
Dices que N y P(N) tienen la misma cardinalidad. Entonces da una demostración de que existe tal biyección.
ResponderEliminarEn el mundo de las matemáticas, todo se define (por supuesto a partir de un cierto número finitos de términos primitivos no definidos, como clase o conjunto, dependiendo de qué axiomas se usen como base) y todo se demuestra. Si se quiere introducir un término nuevo, este se define. Si se hace una afirmación, esta se demuestra, si no, sólo se considera conjetura.
ResponderEliminarCuando dije que en matemáticas no existe el término infinidad hacia adentro ni infinidad hacia afuera, lo que quise decir es que los definas, igual con el término número inordenable. Por eso cuando te hablo de matemáticas, siempre menciono definiciones y hago demostraciones de mis afirmaciones; creo que eso ha ocurrido en mis comentarios y en la entrada de mi blog concerniente a esta entrada tuya. Por eso te digo que parece que sólo estás jugando, porque no has hecho ninguna demostración ni has definido los términos nuevos que introduces. Así es como se hacen las cosas en matemáticas. He visto que en filosofía no es el caso, o no era el caso. Eso es lo que me llama la atención de Bunge, que intenta formalizar su teoría, precisamente porque hacer lo que se hace en matemáticas aclara y evita que se discuta sin llegar a ningún lado, o que se esté hablando de dos cosas distintas con un mismo nombre, o que se hagan afirmaciones vagas u oscuras.
El término infinidad hacia adentro no existe en matemáticas, así que defínelo. El término número inordenable tampoco, así que defínelo, y demuestra que en la demostración del argumento por la diagonal hay un número que cumple la definición. Si no lo haces, sólo tenemos dos términos oscuros y una afirmación vaga e intuitiva que puede estar errónea.
La definición de cardinalidad es clara, existe la definición, y hay demostraciones de que hay cardinales infinitos de distintos tamaños. Tú no has ni definido nada ni demostrado nada. Disculpa pero así se hacen las cosas en matemáticas.
Quique:
ResponderEliminarAunque ya me he disculpado contigo en privado quiero hacerlo también en público para que quede constancia y testigos de tal hecho. No era mi intención ofenderte con mis comentarios ni “jugar” contigo, lo único que no puedo evitar que te ofenda es mi ignorancia, todo lo demás ha sido sin querer.
Si al iniciar esta conversación (para mi tan interesante) aspirabas tener una relación de igual a igual, ya puedo avisarte que esto no es posible, tu has estudiado Matemáticas y Física, yo soy un simple aficionado a estas materias, consecuentemente no puedo darte ni definiciones ni demostraciones del tipo de las que tu has usado, con el lenguaje matemático formalizado pertinente, sencillamente no estoy capacitado para hacerlo, mis criticas están hechas desde un punto de vista filosófico, supongo que has leído la cabecera del blog donde pone: “Blog filosófico hecho por un aficionado desde una posición materialista”, con esto pretendo precisamente no engañar a nadie ni hacerle perder el tiempo leyendo mi blog, hay tres palabras clave: filosófico, aficionado, materialista. Su función es espantar el mayor número posible de visitantes, espantar a los que no les interesa la filosofía (directamente el 99,99 % de los internautas), espantar a los que desconfían de los aficionados a cualquier cosa y espantar finalmente a los idealistas, espiritualistas, etc.
Si dado todo esto que te he explicado, consideras que nuestro intercambio “sea en vano”, comprendería perfectamente que abandones esta conversación porque yo no me ajusto a tus exigencias, ni sacas provecho de nuestra charla. No tienes porque perder el tiempo con un aficionado ignorante, cuando Internet esta repleto de blogs mucho mas interesantes que el mío, realizados por profesionales cualificados que no te defraudaran.
(sigue)
En cualquier caso yo voy a intentar desde mi lenguaje no formalizado contestar a tus agudas objeciones. Aunque creo que nuestras posturas ya han quedado perfiladas y lo único que vamos a hacer es repetirnos con variaciones en nuestras exposiciones.
ResponderEliminarLo de “infinidad hacia dentro”, es como una metáfora, imagina que estas en la playa y en la arena clavas dos sombrillas una con un dibujo de un 1 y otra de un cero, una junto a otra a dos metros de distancia y luego dibujas una raya que las una, los palos de las sombrillas hacen de frontera [0,1] y la raya es el “dentro”, todo lo demás es “fuera”. En mi artículo digo: “Si lo comparamos con el conjunto de los números enteros y decimos que el presente es el cero, el pasado es el menos infinito y el futuro es el mas infinito, pero si concretamos dos números del conjunto, por ejemplo menos un billón y mas tres billones, su distancia con ser muy grande es finita. El infinito parece quedar siempre fuera de la sucesión”.
Dices: “El tamaño de un conjunto no tiene nada que ver con algún orden que se le pueda dar”, en eso estoy de acuerdo, el tamaño de un rebaño de ovejas no varia a lo largo del día en que pastando cambia muchas veces el orden de su colección de objetos.
Pero luego dices: “Cuando se trata de contar, no interesa el orden o estructura de orden que se haya añadido a los conjuntos en cuestión; porque al contar no nos interesa el orden en que contemos, sólo el número de elementos”, “Esto muestra que contar no tiene nada que ver con ordenar. Sin importar como ordene mi conjunto de ovejas, conserva su número de elementos”, “Ordenar no tiene nada que ver con contar”.
Aquí no estoy de acuerdo contigo, explícame como puedo contar algo que no este ordenado de alguna manera, un pastor con un rebaño de 325 ovejas (mi abuelo materno fue pastor), lo puede contar de diversas manera a su alcance, al entrar o salir de la taina (así llaman en mi tierra donde encierran las ovejas) contándolas, o si el rebaño es pequeño y el pastor reconoce a todas las ovejas una por una, contándolas cuando están pastando. Naturalmente habría otras maneras mas modernas y caras, como implantarles un chip, etc. Cualquiera de estos métodos implica un orden, las ovejas que están dentro o fuera de la taina, las ovejas que ha reconocido y las que quedan por reconocer, etc.
El asunto es crucial, tu mismo reconoces que las expansiones decimales en el intervalo cerrado [0.1] si están ordenadas, consecuentemente el número que se produce con la diagonal estaría en su “lugar” pues ese número tendría un anterior y un posterior, por lo tanto si se numerasen estas expansiones decimales ordenadas, ese número producido por la diagonal se podría numerar igual que los otros. Solo hay dos maneras de que esto no pueda ocurrir, que se acaben los elementos del conjunto que usamos para contar (N), pero esto es imposible pues N es infinito. O que el número que produce la diagonal sea inordenable (me pides que defina inordenable, un número inordenable sería un oxímoron, un número sin anterior ni posterior, un concepto imposible), es decir un número fantasma, invisible (a una oveja invisible no la podemos contar), pero ya has reconocido que las expansiones decimales en el intervalo cerrado [0.1] si están ordenadas, por lo tanto tampoco este es el caso. Solo queda que el teorema de la diagonal ser falso y por lo tanto los elementos del intervalo sean numerables.
Añades:”Dices que N y P(N) tienen la misma cardinalidad. Entonces da una demostración de que existe tal biyección”.
Mi intento de demostración es la argumentación que acabo de hacer mas arriba, es decir, se basa en lo siguiente, un conjunto infinito no puede tener conjunto potencia porque no puede aumentar, solo pueden encontrarse conjunto potencia de conjuntos finitos. Un conjunto infinito no puede tener cardinal, no puede aumentar (de hay mi comparación con la velocidad de la luz, desde luego los conjuntos no tienen velocidad, era otra metáfora), mi demostración de la biyección se basa en intentar demostrar la falsedad de la postura contraria.
Saludos.
Creo que hay que hacer dos distinciones pertinentes: una cosa es contar en la práctica y otra es contar objetos conceptuales. Esta diferencia es pertinente (incluso Bunge distingue entre ley_2 y ley_3, una cosa es el significado de una ley y otra su modo de verificación). Cuando dices: “Cualquiera de estos métodos implica un orden, las ovejas que están dentro o fuera de la taina, las ovejas que ha reconocido y las que quedan por reconocer”, confundes contar con método para contar; la matemática no se puede ocupar de los métodos (si es con chip o sin chip). Por otro lado, una cosa son las maneras (no hablo en este caso del método para) de contar y otra contar; son tan distintas estas cosas que en matemáticas hay todo un campo para determinar las maneras de contar algo; es decir, se especializa en contar las formas de contar algo: la combinatoria, y maneras de contar no es ordenar: es distinto contar algo que ya tiene un orden y algo que no; de eso igualmente se ocupa la combinatoria. Si tienes 3 ovejas, tienes 3! maneras de contarlas, 6 maneras distintas de contarlas, que es el número de biyecciones distintas que puedes encontrar del conjunto {1,2,3} y el conjunto de tres ovejas.
ResponderEliminarCuando dije que “Las expresiones decimales, como llamas a las expansiones decimales, en el intervalo cerrado [0,1] sí están ordenados, pues representan los números reales en ese intervalo. El primer elemento es 0.00000... y el último es 0.999999....’, quise decir que como representaciones de los números reales, también se les puede considerar con un orden usual, y que con ese orden usual el intervalo tiene primer y último elemento, los que ya dije: el 0.000... y el 0.99999.... Trataré de expresarme mejor en algún comentario posterior, para no enredar más las cosas. A un conjunto se le pueden dar muchos órdenes. El más sencillo es el de anticadena: dado un conjunto A con un orden P es una anticadena si para cualesquiera x,y∈A si x≤y entonces x=y. Si uno considerara el diagrama de Hasse de una anticadena se vería como puros puntitos aislados y todos a una misma altura. Es el más sencillo, pues es equivalente al conjunto a secas...
Se me ocurrió otra manera de explicarlo.
ResponderEliminarHagamos un poco de notación. Si existe una bisección entre dos conjuntos A y B, diremos que son equipolentes, y esto lo denotaremos así: A≅B. Por ejemplo, {∅}≅{a}, pues ambos tienen un solo elemento.
Básicamente el argumento por la diagonal se puede resumir de la siguiente manera.
1. Se supone cierto que existe una bisección f:N→[0,1] de N sobre [0,1].
2. Se demuestra que existe un a∈[0,1] tal que ∀ i∈N b_i≠a.
Nota.Una función f:B→A es suprayectiva ssi ∀ a∈A ∃ b∈B f(b)=a.
La negación de ∀ a∈A ∃ b∈B f(b)=a es
∃ a∈A ∀ b∈B f(b)≠a. Es decir, f no es suprayectiva ssi ∃ a∈A ∀ b∈B f(b)≠a.
Nota. Para la f de la demostración del argumento por la diagonal, se tiene que
∀ i∈N f(i)=b_i. Es decir, los b_i son los valores de f en i.
De manera más formal se puede poner así la demostración:
1. ∃ f:N→[0,1] f es biyectiva
2. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N b_i≠a
Desmenucemos más la demostración, y llamémosle a esta demostración AG:
1. ∃ f:N→[0,1] f es biyectiva
2. f es inyectiva y f es suprayectiva
3. f es suprayectiva
4. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N b_i≠a
5. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N f(i)≠a
6. f no es suprayectiva
7. f es suprayectiva y f no es suprayectiva
Detengámonos aquí por el momento. Se tiene que una proposición compuesta es una contradicción ssi sin importar qué valores de verdad tomen sus proposiciones simples, dicha proposición compuesta siempre es falsa. Denotaré el conector ‘y’ por ∧.
Por ejemplo, P∧¬P es una contradicción. Hagamos su tabla de verdad.
P | ¬P | P∧¬P
V | F | F
F | V | F
Sin impotar cuál sea el valor de verdad de P, se tiene que P∧¬P siempre es falsa. Una conjunción es falsa cuando alguno de sus dos componentes es falsa y verdadera cuando todos sus componentes son verdaderos.
Veamos que la proposición (P∧¬P)∧Q también es una contradicción. Hagamos su tabla de verdad.
P | Q | ¬P | P∧¬P | (P∧¬P)∧Q
ResponderEliminarV | V | F | F | F
F | V | V | F | F
V | F | F | F | F
F | F | V | F | F
Así que (P∧¬P)∧Q igualmente es una contradicción. De hecho, como P∧¬P siempre es falso, no importa el número de proposiciones que agregue (la conjunción ∧) siempre voy a obtener una proposición que siempre es falsa.
Volvamos adonde estábamos.
Entonces tú sugieres continuar el argumento como sigue:
Consideremos el nuevo conjunto f(N)∪{a}. Entonces, como tenemos que N≅f(N) y {&empty:}=1≅{a}, se tiene que (N+1)≅(f(N)∪{a}). Por otro lado, sabemos que N≅(N+1), así que tenemos que
N≅(N+1)≅(f(N)∪{a}).
Es decir, existe una biyección g:N→f(N)∪{a}.
Nota. Notemos que
f(N)={f(i) | ∀ i∈N}={b_i | ∀ i∈N}.
La existencia de esta g es lo que creo que llamarías (o llamaste o llamas) reordenar a a.
Nota. Se tiene que g≠f, pues, para f se tiene que ∀ i∈N f(i)≠a. Sin embargo, para g ∃ j∈N g(j)=a, porque lo hemos “reordenado”.
Básicamente agregas la siguiente línea al argumento de la diagonal.
8. ∃ g:N→f(N)∪{a}, g es biyectiva.
Entonces estás agregando la línea 8 a AG, cuya última línea es una proposición de la forma P∧¬P. Entonces agregando la línea 8, tenemos:
1. ∃ f:N→[0,1] f es biyectiva
2. f es inyectiva y f es suprayectiva
3. f es suprayectiva
4. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N b_i≠a
5. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N f(i)≠a
6. f no es suprayectiva
7. f es suprayectiva y f no es suprayectiva
8. ∃ g:N→f(N)∪{a}, g es biyectiva.
En la demostración podemos agregar una líneas más:
ResponderEliminar1. ∃ f:N→[0,1] f es biyectiva
2. f es inyectiva y f es suprayectiva
3. f es suprayectiva
4. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N b_i≠a
5. ∃ a∈[0,1] ∀ i∈N f(i)≠a
6. f no es suprayectiva
7. f es suprayectiva y f no es suprayectiva
8. ∃ g:N→f(N)∪{a}, g es biyectiva.
9. (f es suprayectiva y f no es suprayectiva) y ∃ g:N→f(N)∪{a}, g es biyectiva.
Nuestra última línea es de la forma (P∧¬P)∧Q, que es una contradicción. Sigue habiendo una contradicción aunque añadas ese fragmento que sugieres. Esto muestra que el argumento no tiene ningún error. Una vez que uno llega a una contradicción, no importa las líneas que una añada al argumento, la demostración se detiene en la contradicción. Quisiera señalar que este caso no es el mismo que el de la afirmación que dice: “de toda contradicción se puede inferir cualquier cosa”, pues en ese caso la contradicción es la premisa, no la conclusión, como en el caso que nos concierne.
Ahora, por otro lado, se ha demostrado que f no es suprayectiva; es decir, que f(N)≠[0,1], pues se ha encontrado un a∈[0,1] tal que f(i)≠a para todo i∈N. En otras palabras, a no es cubierto por f. Por otro lado, podemos “reordenar” a mediante g. Sin embargo, hemos demostrado que la imagen de f no abarca todo [0,1] (pues existe ese a); entonces, sabemos que hay por lo menos un elemento de [0,1] que no es cubierto por f, pero cómo sabemos que es el único que no queda cubierto, podría haber más; de hecho, hay más elementos de [0,1] que no quedan cubiertos por f, pero eso ya no lo voy a demostrar. Si crees que no hay más, cómo mostrar que no hay más: g no resuelve el problema. Por otro lado, no es necesario demostrar que hay más o no, pues una vez que se llega a una contradicción no importan las líneas que se añadan al argumento, se seguirá obteniendo una contradicción.
Ahora, creo que ser aficionado no justifica la falta de rigor, ¿que no Fermat era un aficionado?
ResponderEliminarMe dio la impresión de que usas el apelativo “mago” para decir “estúpido o tonto (porque a mi ojo de aficionado, como no me tengo que esforzar para saber a ciencia cierta si sí son o no estupideces lo que dicen, con que me suenen a que son, ya los puedo llamar así: magos, pobres ilusos”. Es decir, pienso que no es justificable llamar a alguien así, al escudarse en ser aficionado. Creo que si se va a criticar a alguien o a muchos, hay que entender a cabalidad lo que dicen. Creo que no es justificable la crítica a la ligera.
En resumen, creo que no es justificable la crítica desde la ignorancia.
ResponderEliminarPor cierto, erratum: donde dije “mago” debe decir “creyente en la magia”.
Si no crees que se siga obteniendo una contradicción sin importar el número de proposiciones que se añadan, considera que Q podría ser una proposición compuesta donde sólo aparezca el conectivo ∧.
Quique:
ResponderEliminar1-En tu demostración AG, o se acepta el argumento de la diagonal y entonces f no es suprayectiva o se rechaza el argumento y entonces f es suprayectiva. Por lo tanto el punto 7 sobra y las tablas de verdad sobran.
2-Yo no contemplo un “nuevo conjunto” f(N) U {a}, ni menos aun (N+1), pues N como conjunto infinito ni tiene cardinal ni puede aumentar.
3-Se llega al punto ineludible de si aparte de esa “a” existen mas elementos de [0.1] que no queden cubiertos por f, tu dices que si. Dado que una vez aceptada la existencia de ese “a” que ha fabricado el argumento de la diagonal, este “a” tiene anterior y posterior, y como parece que sería absurdo que “a” no sea biyectable y si lo sean el anterior y posterior , debemos declarar sin remedio que tampoco el anterior y el posterior sean biyectables, pero como a su vez el anterior y posterior tienen anterior y posterior, estos tampoco pueden biyectase, por lo tanto tu afirmación de que hay más elementos de [0.1] que no quedan cubiertos por f es completamente cierta, hasta el extremo de que esta argumentación nos obliga a declarar que en realidad ningún elemento de [0,1] es biyectable con N.
4-Los magos o ilusionistas engañan a listos y a tontos, un físico no esta mejor preparado que un pastor para desenmascarar a Uri Geller, solo otro ilusionista o persona preparada lo puede desenmascarar, también alguien que sepa comprender cuando se encuentra frente a un hecho imposible y entonces aunque no conozca el truco sabe que existe.
El argumento de la diagonal es una demostración por contradicción. Es decir, uno supone que f es biyectiva. De esa suposición uno llega a la conclusión de que f no es suprayectiva. Es decir, cada vez que uno suponga que f es biyectiva, siempre se va a llegar a la conclusión de que f no es biyectiva. Eso significa que la primera suposición de que es cierto que existe una biyección entre N y [0,1] es falsa. En eso consiste la demostración.
ResponderEliminarEfectivamente, la cardinalidad de N no puede aumentar, no es una cosa física, que pueda cambiar.
No me queda claro por qué concluyes que a ha de tener forzosamente posterior o anterior, si no sabes cómo es f, esa f que hemos supuesto que existe. Por ejemplo, f podría ser así:
b_0=0.0̅
b_1=0.1̅
b_2=0.1̅2̅
b_3=0.1̅2̅1̅
b_4=0.1̅2̅2̅1̅
b_5=0.1̅2̅2̅2̅1̅
.
.
.
Entonces, a podría ser 0.9̅=1, el cual no tiene posterior. Por otro lado, los números reales no tienen un anterior inmediato ni sucesor inmediato. Es decir, no tienen un número que sea el anterior y el sucesor, con el artículo definido ‘el’. En los enteros sí ocurre eso; por ejemplo, el anterior inmediato de 5 es 4 y su sucesor inmediato es 6. En los racionales y en los reales eso no ocurre. Por ejemplo, ¿cuál es el anterior de 0.5 (así, con artículo definido)? ¿Cuál es su sucesor? Dado un número cercano al 0.5, siempre puedes dar uno más cercano todavía a 0.5 pero distinto a 0.5. Por ejemplo, los que siguen son cercanos cada vez más a 0.5, pero ninguno es el anterior inmediato: siempre hay uno más chico disinto de 0.5:
0.51
0.501
0.5001
0.50001
0.500001
0.5000001
0.50000001
.
.
.
Y nunca vas a encontrar el menor de todos esos.
¿Tú cómo demuestas por contradicción una afirmación?
ResponderEliminarCuando decía que 0.9̅ no tiene posterior, me refería a que ese número no tiene posterior en [0,1].
ResponderEliminarQuique:
ResponderEliminarDices: “Por otro lado, los números reales no tienen un anterior inmediato ni sucesor inmediato. Es decir, no tienen un número que sea el anterior y el sucesor”, entonces no se puede construir el argumento de la diagonal, pues en este, Cantor se saca de su chistera un número que tiene la propiedad de ser diferente del primero (el siguiente de cero) en el primer decimal, diferente del segundo (sucesor del primero y anterior del tercero) en el segundo decimal, etc., etc., si los números reales no tienen un anterior inmediato ni sucesor inmediato, entonces Cantor no puede comparar su número-conejo con una lista que resulta que no puede escribirse. Ahora entiendo porque ese interés en poner desordenados los números que se escogen de ejemplo cuando se intenta explicar el argumento de la diagonal.
Estás confundiendo numerar con ordenar.
ResponderEliminarAcá te pongo unos que están ordenados; sin embargo, se puede construir el a con el procedimiento que dio Cantor.
f puede ser como sigue:
b_0=0.0̅
b_1=0.10̅
b_2=0.30̅
b_3=0.40̅
b_4=0.50̅
b_5=0.60̅
b_6=0.70̅
b_7=0.80̅
b_8=0.870̅
b_9=0.8770̅
b_(10)=0.87770̅
b_(11)=0.877770̅
b_(12)=0.8777770̅
.
.
.
Estos están ordenados; sin embargo, se puede construir
a=0.9̅
que es distinto de todos los b_i de arriba, como en el argumento de la diagonal: b_00 es distinto de a_0, b_11 es distinto de a_1,..., b_99 es distinto de a_9, b_(10)(10) es distinto de a_(10), etc.
O a podría ser
a=0.21̅
y está construido con el procedimiento del argumento de Cantor:b_00 es distinto de a_0, b_11 es distinto de a_1, b_22 es distinto de a_2, etc. (Usé los paréntesis para los subíndices con dos dígitos para no confundirlos con los subíndices dobles; por ejemplo, b_11 es el segundo dígito (estoy tomando en cuenta al 0 en la secuencia; por eso digo segundo y no primero) del segundo número real entre 0 y 1 en la lista; b_(11) sería el décimo segundo número real de la lista, b(11)(11) sería el décimo segundo dígito del décimo segundo número real de la lista).
Es decir, no tiene nada que ver que los números reales no tengan antecesor inmediato ni sucesor inmediato con que se pueda o no realizar el procedimiento de la diagonal.
Quique:
ResponderEliminarComo se puede observar, al poner los números ordenados, parte de la magia del teorema de la diagonal desaparece, porque es fácil ver que en esa lista ordenada de números el 0.9̅ tiene su lugar, de tal forma que si la lista fuese exhaustiva tendría que aparecer y por lo tanto poder contarse. Si tu lo puedes construir como nuevo número es porque no aparece en la lista previa, esto se debe o a un error o a que la lista no es exhaustiva.
Diferente enfoque (bajo mi indocto punto de vista) es el que intentas dar cuando hablas de que un número real no tiene anterior ni posterior “inmediato” y que consecuentemente el sujeto operatorio (SO, por utilizar un termino de Gustavo Bueno, http://symploke.trujaman.org/index.php?title=Sujeto_operatorio), con sus capacidades finitas no podría nunca abarcar intentando escribir esa lista infinita y que de ello se derivaría que otro SO podría encontrar (o fabricar) un número que no estuviese en esa lista. Pero esto de nuevo se derivaría de un error o de la falta de exhaustividad propia de intentar escribir una lista infinita un SO con capacidades finitas. Pero similar argumento podría usarse con N que es también infinito y cuyos componentes si tienen anterior y posterior inmediato. Al enfrentarse a la tarea de escribir entero N un SO no acabaría nunca y otro SO podría encontrar (o fabricar) un número que no estuviese en esa lista, pero esto no hace a N incontable, entre otras cosas porque al tener N la propiedad de que al escribirse de forma ordenada convencional, los números se autocuentan (se biyectan consigo mismo), el número que se fabricara nuevo en N daría de si mismo la información del lugar que ocupa en esa lista ordenada. Cosa que no ocurre en R.
El problema con R me parece que empieza cuando se intenta construir el primero de sus componentes que en la notación del artículo escaneado que te envíe (por si alguien esta siguiendo este debate y esta interesado se trata del artículo Los infinitésimos como números transfinitos y la continuidad matemática de Carlos Calleja Xifré, quien lo quiera leer solo tiene que pedírmelo y se lo mandare por e-mail) sería 0´00Aleph cero 0001, este sería el primer número del intervalo [0.1], el segundo sería 0´000Aleph cero 0002, y así sucesivamente, ¿podríamos aceptar esta notación?
Los problemas no se dan en estos primero y últimos números sino en los intermedios, pero de nuevo por la dicotomía SO finito/ tarea infinita.
De aceptar esto, tal cosa supondría que los números reales si tienen sucesor y antecesor inmediatos, siempre que aceptemos que tienen ultimo elemento y que el infinito (usando mi terminología) queda “hacia dentro”, entre el primer y el ultimo digito. A fin de cuentas el intervalo [0,1] es infinito y tiene primer y ultimo elemento.
Adjunto un enlace a un artículo critico con Cantor con un enfoque interesante, curiosamente, escrito por otro economista. Leer la versión en PDF:
http://www.eumed.net/ce/2007b/amp-cantor.htm
La estrategia de la diagonal de Cantor me recuerda una conversación que un amigo mío tuvo hace muchos años con una mujer con la que viajaba en un tren, después de hablar un rato sobre cuestiones políticas le dice mi amigo:
ResponderEliminar-Ya veo que tú eres de los míos.
-No, no soy de los tuyos.
-¿Por qué?
-Porque yo no soy de ninguno.
A lo que contestó mi amigo.
-Ves cómo eres de los míos.
Precisamente lo que demuestra el argumento por la diagonal es que es imposible definir o construir una lista exhaustiva de todos los números reales de [0,1].
ResponderEliminarEl argumento por la diagonal se puede repetir para (0,1) y el resultado es el mismo: es imposible dar una lista exhaustiva de todos los números reales en el intervalo (0,1), lo cual es lo mismo que afirmar que no existe una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los reales.
Cuando uno escribe cómo podría ser f, uno no está escribiendo una demostración, pues un ejemplo no puede constituir una demostración, a menos que se trate de un contraejemplo. Uno escribe cómo podría ser f sólo con fines ilustrativos, para aclarar cómo funciona el argumento por la diagonal.
Con el orden usual sobre [0,1], el primer elemento de [0,1] no tiene al 1 en su expansión decimal, pues su primer elemento es el 0=0.0̅. Por otro lado, ¿cuál es el segundo elemento de [0,1] con su orden usual? El segundo, de haber alguno, sería el sucesor inmediato de 0, pero los números reales con su orden usual no tienen ni antecesor ni sucesor inmediato. ¿Cuál es el sucesor inmediato de 0? O dicho en otras palabras, ¿cuál es el menor de todos los positivos? ¿Cuál es el menor de los siguientes números
0.01
0.001
0.0001
0.00001
.
.
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Ahora, por otro lado, Calleja hace referencia al intervalo (0,1) no al [0,1]. Lo dice en el apartado 7, 9, 10, 11, 12…
La tabla que aparece en su apartado 12 está equivocada (todo el artículo está lleno de errores elementales: desconoce las propiedades básicas de los números reales), donde usa la notación que quieres usar. El primer número de su tabla en el apartado 12 es el cero, que denota 0.000ℵ0000 (o 0.000……0000). El último número de su tabla es el uno, que denota 1.000ℵ0000 (o 1.000……0000).
Después del 0, coloca al supuesto sucesor inmediato del 0, el supuesto primer elemento de (0,1). Sin embargo, el 0 no tiene sucesor inmediato (ni ningún número real tiene sucesor inmediato ni antecesor inmediato). Ese supuesto primer elemento de (0,1) lo denota 0.000ℵ0001, el cual no importa cómo lo denote, pues no existe. Después escribe en su tabla el supuesto sucesor inmediato de 0.000ℵ0001. Ese número tampoco existe. Y continua con su tabla de números inexistentes hasta el supuesto antecesor inmediato del 1, que denota 0.999ℵ9999. ¿Cuál es mayor de los siguientes números
0.91̅
0.991̅
0.9991̅
0.99991̅
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El 1 no tiene antecesor inmediato en (0,1) (ni en R). Supuestamente Calleja cuenta los números en el intervalo (0,1), pero quién sabe qué cuenta, porque ni el 0 tiene sucesor inmediato ni el 1 tiene antecesor inmediato (en R). (Ni ningún número real tiene sucesor inmediato ni antecesor inmediato).
Su afirmación más descabellada en ese artículo es la del apartado 10, donde dice que los números incluidos en el agregado 1>x>0 son todos iguales a cero. ¡¿0.5=0?! ¡Todos los números en el intervalo (0,1) son estrictamente mayores a 0!
En ningún lado muestra algún error en el argumento por la diagonal. Calleja “demuestra” que todos los números del intervalo (0,1) son iguales a 0, cuenta números inexistentes y resullta que el mago es Cantor.
Las matemáticas no tratan sobre objetos físicos infinitos, así que tampoco sobre la realización de estos. En ellas no tiene nada que ver si un sujeto operatorio puede realizar alguna tarea infinita, pues las matemáticas no tratan de sujetos físicos ni objetos físicos. En ella se trata al infinito como un concepto. El significado de un concepto no es su modo de verificación (o realización). Si ese fuera el caso, todo el cálculo inventado por Leibniz y Newton carecería de sentido, sólo tendría sentido el cálculo computacional. Sin embargo, tenemos
ResponderEliminar1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^3+⋅⋅⋅=
1+1/2+1/4+1/8+⋅⋅⋅=2.
Por supuesto que una computadora (o un ser humano), nunca alcanzaría el límite 2 aunque pudiera sumar para siempre. Sin embargo, con las herramientas del cálculo, podemos estar seguros que de poder hacerlo, 1+1/2+1/4+1/8+⋅⋅⋅=2. El cálculo mediante una computadora (o a mano) es algo completamente distinto al cálculo inventado por Leibniz y Newton: el primero necesita de una implementación o realización física con una máquina, el segundo es conceptual.
Contar no tiene nada que ver con ordenar.
ResponderEliminarConsidera el conjunto S de todas proposiciones con sentido del español. ¿Cuál es su orden? Ahora considera el conjunto C={f,v}, y denotemos por C^S al conjunto de todas las funciones que van de S a C. ¿Cuál es su orden? Es fácil ver que S tiene un número infinito de elementos y se puede demostrar que C^S tiene un número estrictamente mayor de elementos que S. No es necesario ordenarlos para contarlos.
Quique:
ResponderEliminarMientras preparaba una respuesta a tus últimos comentarios he caído en la cuenta de que tendría que repetir argumentos expuestos mas arriba, lo que me hace pensar que ya hemos definido nuestras posturas con bastante claridad (tu mejor que yo seguramente) y que seria penoso andar reiterándose hasta el infinito y mas allá (nunca mejor dicho), así que por mi parte doy por terminada la discusión.
Un fuerte abrazo.