NIEBLA EN LA NIEBLA
Fermín Huerta Martín
Escrito en 2005
Los dos filósofos materialistas mas importantes del presente, han hecho una decidida apuesta por el infinito y contra el Big Bang. Mario Bunge y Gustavo Bueno así lo han declarado en varias ocasiones. Y es que la cuestión parece estar en una de estas dos opciones o el Universo es eterno (podríamos decir que es el conjunto de los números enteros que es infinito a los dos lados del cero, que sería el presente) o comenzó en un instante pasado (podríamos decir que es el conjunto de los números naturales donde el cero es el momento del Big Bang o comienzo y vamos por el número 15 mil millones). Dado que esta segunda opción parece mas dada a interpretaciones metafísicas y religiosas (intervención divina) y dado que ambos se declaran ateos y defensores del lema EX NIHILO NIHIL FIT (nada se origina a partir de la nada), la opción que queda, si es que solo hay estas dos, es el infinito. Pero así como la opción "comienzo" es criticada muchas veces, la opción "infinito" se da por aceptada de forma apagógica sin mayor critica. Y la verdad es que se puede criticar, como intentare demostrar en este artículo.
Dice Kant en la tesis de su primera antinomia:
"Es imposible una serie cósmica infinita transcurrida".
Curiosamente un Universo temporalmente infinito hacia delante no da problemas, por que en realidad nunca llega a la infinidad, solo crece finitamente sin fin. Pero siempre es finito. Y este es precisamente el meollo del argumento contrario al infinito temporal pasado. El problema surge al plantear que ha transcurrido un periodo de tiempo infinito hacia atrás. Al topar con el concepto de infinito tenemos que intentar saber de que estamos hablando, y es que una de las características del infinito es que temporal y espacialmente en un universo infinito la distancia entre dos puntos es finita, en un conjunto infinito hay series infinitas pero no intervalos infinitos. Si lo comparamos con el conjunto de los números enteros y decimos que el presente es el cero, el pasado es el menos infinito y el futuro es el mas infinito, pero si concretamos dos números del conjunto, por ejemplo menos un billón y mas tres billones, su distancia con ser muy grande es finita. El infinito parece quedar siempre fuera de la sucesión. Un conjunto infinito puede tener partes finitas, pero no una mitad finita, ni una décima parte finita. O sea esa parte finita no tiene proporción con el todo y sin embargo el todo se compone de esas partes aproporcionales.
O sea que el infinito en cuanto siempre ampliable no da problemas, es un ir haciéndose sin fin, el infinito da problemas en cuanto estar hecho ya. Decir que ha transcurrido un infinito de tiempo no tiene sentido.
Sin embargo el pensamiento de un universo infinito espacialmente no ofrece los problemas del universo infinito temporalmente, la infinitud espacial no afecta al desarrollo de los acontecimientos en dos lugares separados. Temporalmente la relación causa-efecto, momento-momento se tiene que recorrer. Espacialmente no.
Por lo tanto tenemos que decir que el infinito no es una cantidad, no puede representarse con un número, como el número 4 representa cuatro cosas, el infinito es la negación de cualquier cantidad, y mucho menos puede haber mas de un infinito.
Por lo tanto podemos usar una palabra que no es un número, por que el infinito no es una cantidad, como Aleph, como hizo Cantor, por que parece que al hablar de infinito es ineludible hablar de Cantor.
Podemos aceptar algo que va contra el sentido común, como es que un conjunto infinito tiene subconjuntos infinitos igual de grandes. Podemos aceptar que sean igual de inacabables, aunque el sentido común nos diga que el conjunto de los números pares es la mitad de infinito que el conjunto de los números naturales. Pero si aceptamos esto de que un infinito no puede tener partes proporcionales, y por lo tanto no puede tener una mitad, podemos decir que son ambos infinitos aunque uno este dentro del otro. Por que en la biyección que prueba su igualdad, el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, el 4 con el 8, etc. El infinito queda para los números aun no biyectados.
Pero es que además, es el aceptar esto lo que nos impide aceptar lo otro, es decir, si aceptamos que solo hay un infinito, que seria mas un nombre que un numero, para designar un proceso que no puede acabar, debemos aceptar que todos los conjuntos infinitos en cuanto proceso sin fin son iguales, no puede haber cosas sin fin mas grandes que otras, y no podemos hacer operaciones con estos nombres como si fueran números , a 2 no podemos elevarlo a Aleph cero como no podemos elevar 2 a patata. Por eso es ridículo el argumento de que el conjunto de las partes de Aleph cero es mayor que Aleph cero, o sea es 2 elevado a Aleph cero, por que Aleph cero es un proceso, no un numero ni una cantidad, y el que lo acepta debería replantearse que anteriormente halla aceptado que el conjunto de los números pares sea igual que el de los números naturales. Por que si en la biyección Aleph cero----Aleph uno quedarían elementos sueltos de Aleph uno en la biyección números pares----números naturales también, bastaría biyeccionar cada numero par del primero con un número par del segundo y tendríamos todos los impares del segundo sin biyeccionar. Y por lo tanto el segundo sería un infinito el doble de grande del primero. Pero aceptar esto implica negar la jerarquía de los Aleph que es lo que motivó la frase de Hermann Weyl que da titulo a este artículo, al decir que era niebla en la niebla. Y es que la famosa prueba esgrimida por Cantor para demostrar que Aleph uno era mas grande que Aleph cero siendo ambos infinitos, o sea la diagonal de Cantor que demostraría que Aleph uno no es numerable por que siempre se puede encontrar un número que no este en la serie, tiene el problema de que se da por sentado que los miembros de Aleph uno no se pueden ordenar, por que si se ordenasen serian coordinables con Aleph cero y por lo tanto iguales. De hecho en los ejemplos de la diagonal de Cantor se ponen números desordenados para que así el efecto de la aparición del nuevo número sea mayor, pero es iluso por no decir ridículo pensar que entre 0 y 1 hay un infinito no coordinable con N. Afirmamos que de dos números desplegados del tipo 0´XXX… se puede saber si uno es mayor que otro. Por que en ese despliegue debe llegarse a un digito diferente que ordene inmediatamente uno con respecto al otro y así con todos.
Los números decimales infinitos que se ponen de ejemplos en la diagonal de Cantor, no son números son pseudonúmeros, por que un número o es definido por una relación y se le da un símbolo para identificarlo como raíz cuadrada de 2, pi, e, etc. o se lo muestra entero, como son infinitos no se pueden mostrar enteros, por lo tanto si no tenemos un procedimiento para encontrarlo, no sabemos de que número estamos hablando si no lo escribimos entero y como ello no es posible, no tenemos propiamente un número tenemos un esbozo de un número.
Resumiendo en una serie Aleph uno ordenada no habría ningún número fuera de sitio y seria coordinable con Aleph cero.
La conclusión principal a la que podemos llegar tras lo expuesto es la siguiente:
Es igual de absurdo considerar que el mundo tuvo un comienzo o que a existido siempre, dadas las contradicciones a las que se llega en cada caso. Pensamos que no cabe una tercera posición, y que todos los intentos de buscar algo alternativo a esto nos termina remitiendo a lo mismo (Dios, a existido siempre o se creó a si mismo), la elección de la solución infinitista reduce a uno el problema (¿Cómo pudo haber transcurrido desde el pasado una cantidad infinita de tiempo?) mientras que la solución finitista produce mas problemas (¿Con que toca el limite espacial y temporal del universo?) y por eso se prefiere. Es la elección apagógica: "Es verdad por que las alternativas son peores".
Sin embargo pensamos que tan absurdo es que el mundo surja de la nada sin causa, como que exista después de recorrer una distancia temporal infinita.
La referencia al principio Ex nihilo nihil fit es aceptada y constante, pero parece mas bien una ley fenoménica, categorial, en el mundo diario las cosas no surgen de la nada ni desaparecen. Pero ¿es esto extrapolable al mundo ontológico?
¿Por qué extrapola Bueno esto, cuando no lo hace con otros aspectos de lo categorial?, ¿es posible que ontológicamente surgiera el mundo de la nada, sin motivo y sin agente externo?, ¿Qué leyes rigen el nivel ontológico?, ¿podría desaparecer el mundo de repente y volver a la nada, de igual manera?.
Esto sería tanto como aceptar una cierta legalidad dentro del paréntesis pero no en sus extremos, lo cual no deja de ser tan absurdo como pretender que hemos llegado al momento actual después de recorrer un tiempo infinito pasado.
Añadido en 2012
En junio de 2011 en el interesante blog http://eltamiz.com/ hubo una discusión sobre este tema y tuve la temeridad de participar, un poco por curiosidad y partiendo de la base de que yo era un simple aficionado, aquí os copio el resultado.
http://eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/
“Fermín Huerta Martín|01/07/2011 at 17:40|Permalink
Siempre que veo esta demostración de la diagonal me sorprende que los números del lado derecho se pongan sin ningún orden, el tercero es mas pequeño que el segundo, el quinto mas pequeño que el cuarto. Pero el lado izquierdo si que esta ordenado. El truco esta también en que los números donde hay puntos suspensivos no son números, son una especie de dibujo que mezcla números y puntos suspensivos. Los números reales se pueden ordenar, los que pones como ejemplos se pueden ordenar de menor a mayor, así también cualquiera dos números reales llegan a un decimal que los diferencia, por lo tanto se pueden ordenar mutuamente y por lo tanto coordinar con los número naturales. Lo de Cantor es una tomadura de pelo monumental o como se dijo una vez: niebla en la niebla.
Cristo|01/07/2011 at 20:41|Permalink
@Fermín Huerta Martín, una ordenación total no implica numerabilidad. Fíjate que para numerar los racionales hemos tenido que romper completamente su orden usual.
Un saludo,
Sergio B|01/07/2011 at 22:46|Permalink
@Fermin, yo no veo ningun truco en lo de los puntos suspensivos, simplemente es una forma de no escribir todos. Si vas siguiendo filas o columnas, el problema es que nunca los cogeras todos, por que si dices que primero van los de la primera fila y luego los de la segunda, nunca llegaras a la segunda, haciendo diagonales sigues un camino con el que recorres todos inequivocamente. En lo de los reales, el problema no es ordenarlos, en la demostracion se parte de que se han ordenado.
Fermín Huerta Martín|02/07/2011 at 19:01|Permalink
Si el conjunto esta ordenado, el número que se fabrica en la diagonal debe estar en ese conjunto en su sitio, a no ser que nos lo saltemos para que el truco funcione. Pretender que un conjunto infinito es mas grande que otro conjunto infinito es igual de absurdo que pretender que un número primo es mas primo que otro número primo, o que un número par es mas par que otro número par. Intuitivamente es mucho mas fácil ver que el conjunto de los número naturales es el doble de infinito que el conjunto de los números impares y no necesitamos hacer ninguna diagonal para ello, se ve a simple vista, a pesar de ello se apela a la biyección para matar la intuición. Sin embargo con la diagonal pretenden matar la biyección para intentar demostrar que después de todo si hay diferencias de tamaño entre conjuntos infinitos, con un truco digno de un prestidigitador. El mismo truco que se usa para intentar demostrar que una superficie contiene los mismos puntos que una línea. ¿De verdad creéis que existe algún matemático de los que aceptan eso, que cuando vaya a comprar un piso de 80 metros cuadrados y le quieran dar una pared de ladrillos de 80 metros y le diga el vendedor que contiene los mismos puntos que el piso y que ya puede ir colocando el sofá, los armarios, las camas, etc., el matemático crédulo lo aceptaría?
Naka Cristo|02/07/2011 at 19:51|Permalink
Fermín, te repito que haber ordenaciones no tiene nada que ver con que haya una biyeción. Por ejemplo tenemos una biyección clara entre los complejos y R^2, sin que ninguno tenga una ordenación “natural”. Y no es algo que se acepte, es algo que se demuestra. Lo que puedes aceptar o no son los conjuntos de axiomas, como el http://es.wikipedia.org/wiki/ZFC que se asume por una gran cantidad de matemáticos. Y no sé a que viene el ejemplo del piso, ¡qué tendrá que ver el cardinal con una propiedad métrica! Recuerda además resultados un tanto antiintuitivos relacionados, como la paradoja de Banach-Tarski.
Sergio B|02/07/2011 at 20:32|Permalink
@Fermin El problema es que por mas que nos empeñemos la matematica no es, ni tienen la intencion de serlo, una ciencia o algo relacionado con la intuicion. Es un lenguaje, con unas reglas y unas bases axiomaticas, que son asi por que si, ni reales ni intuitivas, y que luego da la casualidad de que se pueden usar, bueno, no es que sea casualidad, por que se han desarrollado para algo, pero vamos, que no esta en sus bases. Desarrollos fisicos o quimicos usando la matematica si que pueden llevar a absurdos, como bien explicas, la superficie real de un piso no tiene mucho que ver con los puntos de la pared, pero bueno, una cosa es una superficie real y otra una matematica, se diferencian en que una tiene unidades y la otra no.”
Para acabar copio una frase de Bunge de su libro El moblaje del mundo página 194:
“No hay ningún motivo para esperar que la matemática pura sea capaz de desvelar, por sí sola, la estructura de la realidad”.